Hablando Sobre Cálculo Diferencial... (IV)

No es bueno abundar palabras cuando tratamos sobre cálculo avanzado, pero esto es un blog y debo desarrollar las entradas para todo público interesado y para estudiantes. Hemos hablado de incrementos, de límites, y también derivadas, estamos realmente hablando de cálculo diferencial pero ¿Qué es un diferencial? si queremos, transversalmente, cortar una hoja de papel rectangular haciendo la mayor cantidad de cortes posibles, iniciando el primer corte por el centro de nuestra hoja, y el segundo corte por el centro de la primera mitad, el tercero por el centro de la segunda mitad, el cuarto por el centro de la tercera mitad, y así sucesivamente, hasta tener trozos infinitésimamente pequeños, notaremos que cada mitad de hoja de papel, por pequeño que sea su tamaño, tiene su respectivo centro. Siguiendo este procedimiento llegaremos a tener un segmento ideal de papel, que cumple con la condición de ser el más pequeño posible, más diminuto que uno que podamos imaginar.

Si suponemos un pedazo del papel pequeñísimo, físicamente imposible de obtener, podemos idealizar uno mucho más pequeño. Se entiende que un diferencial de ese papel es aquel corte infinitesimal más pequeño que el que podemos imaginar. Podemos sustituir la hoja de papel por un segmento, por una medida de tiempo, por una medida de velocidad, de aceleración, etc.; en cada caso, el concepto de diferencial es el mismo: una porción infinitésima más pequeña que una imaginada.

Trabajar con semejantes dimensiones requirió el desarrollo de una rama de los números: el cálculo. Sin el cual, el estudio de las curvas, por poner un ejemplo, estaría incompleto. Pero no podemos detenernos, continuaremos derivando otras dos funciones para cerrar con el sistema de derivación utilizando la regla general o métodos de los incrementos.

y = 9x²+4x

       2x+1

Incrementamos la función

y +Δy = 9(x+Δx)²+(4x+4Δx)

                     2(x+Δx)+1                               

Resolviendo paréntesis y luego restando función sin incrementar

y+Δy – y = 9(x²+2xΔx+Δx²)+ 4x+ 4Δx  -  9x²+4x

                             (2x+2Δx+1)                 (2x+1)   

   

Resolviendo

Δy = 18x²+ 9x²+36x²Δx+18xΔx+18xΔx²+9Δx²+8Δx²+4x+8x-18x³-8x²-18x²Δx-8xΔx-9x²-4x/ (2x+2Δx+1)(2x+1)

Δy = 18x²Δx+18xΔx+18xΔx+9xΔx+4

              (2x+2Δx+1)(2x+1)                                                                        

  

dividiendo la funcion entre Δx

Δy = 18x²+18x+18xΔx+9Δx+4

Δx        (2x+2Δx+1)(2x+1)

Aplicando límite de la función cuando Δx→ 0  

 

Lim    Δy = 18x²+18x+4

Δx→ 0  Δx    (2x+1)(2x+1)

Por definición de derivada

dy = 18x²+18x+4

dx        (2x+1)²

Hablando Sobre Cálculo Diferencial...(III)

Como prometimos en la segunda entrada de esta serie, continuaremos derivando funciones utilizando la regla general de derivación o método de los incrementos. Estamos saltando algunos pasos algebraicos de reduccion de terminos semejantes, pues como dijimos al iniciar esta serie, suponemos que el lector tiene conocimientos suficientes de álgebra. Resolveré un caso de derivación más laborioso, y uno más en la próxima entrada. Espero que los estudiantes iniciales de todas las ingenierias, economía, administración de empresas, contabilidad, etc. lean esta serie y que les sea de utilidad.

Tenemos la función siguiente

y =       b    

         X³+x

Incrementando ambos miembros de la igualdad

Y+Δy  =              b               ;  luego:  Y+Δy  =                        b                              

                  (X+Δx)³+x+Δx                                   x³+3x²Δx+3xΔx²+Δx³+x+Δx

Restando función sin incrementar de la incrementada

Y+ Δy-y =                            b                          -         b      

                    x³+3x²Δx+3xΔx²+Δx³+x+Δx          X³+x

Δy =            -(3x²Δx+3xΔx²+Δx³+Δx)b         

           (x³+3x²Δx+3xΔx²+Δx³+x+Δx)(x³+x)   

 Dividiendo entre Δx 

Δy =             -(3x²+3xΔx+Δx²+1)b                    

Δx       x³+3x²Δx+3xΔx²+Δx³+x+Δx(x³+x) 

 Haciendo Δx → 0  y aplicando limite de una función 

      Lim     Δy  =   -(3x²+1)b              

 Δx → 0   Δx   (x³+x)(x³+x)

Por definición

      Lim      Δy =  dy 
  Δx → 0   Δx      dx      

Por tanto

dy  =    -(3x²+1)b    

dx          (x³+x)²

   

Observemos otro ejemplo

y  =  6x²+3x+2 

             x+6
Incrementemos la función y resolvamos el binomio de newton

y+Δy =  6(x+Δx)²+3(x+Δx)+2     →     y+Δy  =     6x²+12xΔx+6Δx²+3x+3Δx+2

                          x+Δx+6                                                       x+Δx+6  

Restamos función sin incrementar de la función incrementada

Δy =  (6x²+3x+2)+12xΔx+6Δx²+3Δx   -   6x²+3x+2

                          (x+6)+Δx                          x+6                 

 Encontramos denominador común y reducimos los términos semejantes

Δy =  (6x²+3x+2)(x+6)+(12xΔx+6Δx²+3Δx)(x+6)  -  (6x²+3x+2) (x+6)-(6x²+3x+2)Δx

                                                         (X+6)²+(x+6)Δx

Δy     =     12x²Δx+72xΔx+6xΔx²+36Δx²+3xΔx+18Δx-6x²Δx-3xΔx-2 Δx

Δx                                            (X+6)²  +(x+6)Δx      

Reduciendo términos semejantes y luego dividiendo entre Δx

Δy  =  6x²+72x+6xΔx+36Δx+16

                        (x+6)²

Haciendo Δx = 0  y aplicando el límite de la función

    Lim     Δy     =    6x²+72x+16

Δx→ 0    Δx                  (x+6)²   

 Por definición de derivada   

  dy  =     6x²+72x+16                                        

  dx               (x+6)²                                                                    

Hablando Sobre Cálculo Diferencial... (II)

En esta entrada derivaremos una función, para que nuestros lectores aprecien claramente el proceso. Iniciamos con la regla general de los incrementos, pues a partir de esta obtendremos los métodos directos de derivación. He pensado resolver dos ejemplos pero la entrada resultaría muy larga y me ha dado mucho trabajo colocar símbolos, exponentes, etc.   

Procedamos.

Simbología de la derivada de una función

dy; y´; f´(x)

dx

Método de los incrementos o regla general de derivación

1. Sustituir en la función a x por (x+∆x), y procedemos a calcular el nuevo valor de la función y+∆y.
2. Restar la función no incrementada a la función incrementada para obtener ∆y.
3. Dividir ∆y sobre ∆x obteniendo de esta forma, la razón entre el incremento de la función con respecto al incremento de la variable independiente.
4. Hallar el límite de este cociente cuando ∆x tienen, o se aproxima a cero. Este límite es la derivada buscada de la función. 

Veamos estos pasos en un ejemplo

y = x+2x-3

Incrementamos ambos lados de la función

y+∆y = (x+∆x) + 2(x+∆x) – 3

Resolvemos binomio de newton y reducimos términos semejantes, si los hay

y+∆y = x+2x∆x+∆x + 2x+2∆x – 3

A este resultado restamos la función original

y+∆y = x+2x∆x+∆x + 2x+2∆x – 3

y        = x+2x-3                                

 ∆y    = 2x∆x+∆x + 2∆x

Dividimos este resultado por ∆x y simplificamos

∆y   =   2x∆x+∆x + 2∆x

∆x          ∆x     ∆x       ∆x

∆y = 2x +∆x + 2                                                           razón buscada

∆x

Aplicamos limite a este resultado, haciendo que ∆x tienda a cero

  Lim   ∆y  = 2x+0+2

∆x→0 ∆x

Tenemos

 Lim     ∆y = 2x+2;    por definición           Lim    ∆y =  dy

∆x→0  ∆x                                               ∆x→0  ∆x     dx

                                                               

dy  = 2x+2                                            derivada de la función

dx

El cálculo diferencial es laborioso, pero importantísimo; debemos aprenderlo con sentido de disfrute, no importa que nos de una lucha grandísima asimilarlo del todo. En la próxima entrada resolveré dos ejemplos, y si no se extiende mucho, explicaré un ejercicio de aplicación. Hasta la próxima.

Hablando Sobre Cálculo Diferencial... (I)

Subiré algunas entradas sobre los principios básicos del cálculo diferencial. Puede parecer ilógico, pues no he completado la serie matemáticas cotidianas, ni he hablado sobre algebra lineal, geometría euclidea, trigonometría plana, ni sobre las bases de la geometría analítica. Pero sucede que algunos jóvenes estudiantes me han pedido que por favor le escriba sobre los cimientos del análisis matemático. 

Yo no he necesitado las matemáticas avanzadas para vivir; indica esto que no domino como cuando era estudiante esta laboriosa rama de las ciencias exactas; mis esfuerzos didácticos al escribirla deben ser ponderados tomando en cuenta este punto –que por cierto, felizmente me sirve de pretexto- y recuerden esto, que es lo más importante de esta introducción: ¿Qué se creen todos, que es un libro de cálculo, o un folleto para la universidad? No, es un esfuerzo tremendo, desde el punto de vista didáctico, de uno que no le agrada impartir docencia en un ambiente escolar.

Entremos sin rodeos al tema, que no es nada fácil.

Tenemos una función cualquiera

y = x 

Si aumentamos el valor de x en ∆x, entonces y aumentara en ∆y, la ecuación resultante es

Y+∆y = (x+∆x)                                                 (1)

Resolviendo el cuadrado de la suma de dos cantidades tenemos

Y+∆y = x+2x∆x+∆x                            (2)

Queremos saber cuál es el incremento ∆y en función de x, y de ∆x, procedemos a restar las funciones (1) y (2)

y       = x 

Y+∆y = x+2x∆x+∆x

∆y = 2x∆x + ∆x

Para saber cuándo varía ∆y con respecto a ∆x hallamos la razón siguiente

∆y  = 2x+∆x                                        (3)

∆x    

Esta ecuación nos dice que ∆y con respecto a ∆x varia en razón de 2x+∆x        

Si x = 3 observamos que

∆y = 2(3)+∆x      →  Lim ∆y = 6                      

∆x                                  ∆x→ 0 ∆x

Vemos que para dejar el límite de la función bien establecido, debemos aproximar el incremento de x, o sea ∆x lo más posible a cero.

Como no estamos obedeciendo un orden para enseñar esta base del cálculo diferencial, lógicamente damos por hecho que el lector interesado conoce lo que es el límite de una función.

Por definición

Derivada de un función de una variable es el límite del cociente del incremento de la variable dependiente (∆y) entre el incremento de la variable independiente (∆x), cuando este último tiende a cero.

y →  Variable dependiente                ∆y → Incremento variable dependiente
x →  Variable independiente             ∆x → Incremento variable independiente