Hablando Sobre Cálculo Diferencial... (VI)

En la entrada  anterior hablamos sobre la interpretación geométrica de la derivada. Concluimos demostrando que el valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la tangente de la curva en ese punto. Resolveremos algunos ejemplos sencillos, que nos ayudaran a comprender la aplicación de esta demostración.

Las gráficas utilizadas en la entrada no corresponden con los ejemplos.

Ejemplo 1:

Calcular la pendiente e inclinación de la tangente

y = x² - 2;               siendo     x = 1

Aplicando el método general de derivación o de los incrementos, encontramos que la derivada de la función es

dy  = 2x                sustituimos valor de   x;    dy  =  2(1) = 2 

dx                                                                   dx      

2 = pendiente de la tangente en el punto donde x = 1; con la calculadora encontramos el ángulo de inclinación  

Ѳ = 63° 26'

Ejemplo 2

Hallar el punto de la curva y= 5x - x² en el cual la inclinación de la tangente es de 45°

Derivando la función resulta

dy = 5 – 2x                         pendiente de la tangente

dx

Sabemos que la tangente de 45° = 1; por definición, la derivada de la función es igual a la unidad. Sustituyendo tenemos

1 = 5 – 2x;                             despejando x resulta

x = 2                                      sustituyendo valor de x en la función original, resulta

y = 5(2) - 2²;                                       y = 6

Un punto en el plano está determinado por dos valores P(x,y), por tanto el punto de la curva donde la inclinación de la tangente es de 45° es  P(2,6)

En la siguiente entrada resolveré un ejemplo más y haré una retroalimentación de las entradas anteriores, para luego iniciar con las demostraciones de algunas de las formulas de derivación. No podemos avanzar en las bases del cálculo diferencial sin un breve repaso de las entradas que hemos subido.

Maniqueo Ingenuo Y Ameno...

Que agradables y amenos son estos medios de comunicación…

Saddam Hussein, Hosni Mubarak, Osama Bin Laden, el coronel Gadafi, Ben Ali, todos tienen similitudes.  Si bien Mubarak no resulto muerto, porque su cobardía extrema le salvó la vida.  No, no es ese el parecido, ese que llega a sus pensamientos, amables lectores y seguidores de mi rinconcito virtual. Los iguala que todos son malos. Y nadie quiere ver una película donde al final el malo quede vivo. Nadie quiere ver una película donde el malo muera tranquilo en su cama, o que muera accidentado. Todos aplaudimos cuando los malos son destrozados como se merecen. Vayan mis aplausos a la acción heroica acometida contra este grupo de depredadores. El mundo será un mejor lugar con menos perversos.

Faltan algunos distinguidos miembros en ser tocados por la primavera árabe. Los gobernantes de Siria, Bashar al Asad; Yemen, Abdalá sale; y Barein, Hamad bin Isa al Jalifa, se aferran al poder. Y aunque no estoy empapado del todo, parece que le está llegando la hora a Teodoro Obian de guinea, único país africano que oficialmente habla español. Los buenos continúan triunfando; al parecer estamos en el momento de acción del protagonista…

Hay buenos y malos. Vivimos etapas en donde el malo es clasificado como aquel que reprime a su propio pueblo. Podemos destrozar poblaciones completas, sin piedad alguna matar niños, mujeres embarazadas, ancianos, etc., pero si los muertos no son de los nuestros no hacemos algo malo. Conviene que nos aclaren con cucharitas quiénes son los buenos, porque los malos ya nos los sabemos de memoria. Y para mi cortísimo entendimiento, pido que en camaralenta y con omnipaciencia, me expliquen que si existen buenos que proteger y prosperar, malos que desacreditar y eliminar, como en el cine “in” ¿Quién es el guionista?

Alguien tiene que clasificarnos, porque la historia no se detiene. 

Hablando Sobre Cálculo Diferencial... (V)

Luego de unos días, reinicio la serie, espero que las anteriores hayan sido de provecho para los estudiantes. Hoy deduciremos de un gráfico el significado geométrico de la derivada de una función.

Interpretación geométrica de la derivada

Consideremos la gráfica de la función f(x), o sea, la curva del gráfico; dada la ecuación y = f(x). Hallaremos la derivada de la función e interpretaremos geométricamente cada uno de los cuatro puntos ; escogeremos un punto M(x,y) de la curva y otro  P(x+Δx, y+Δy) de la curva también y cercano al punto M.

y + Δy  =  f(x + Δx)

Restamos la función original de la incrementada

         y  =  f(x)

y + Δy  =  f(x + Δx)             

     Δ y   =  f((x + Δx)  –  f(x)

Dividimos entre Δx

Δy  =   f(( x + Δx)  –  f(x)  =  NP  = tangα 

Δx  =              Δx                  MN     

dy = pendiente de la secante MP

dx

El cociente de los incrementos Δy y Δx es igual a la pendiente de la secante determinada por los puntos M(x,y) y P(x+Δx , y+Δy) de la curva. Como consideramos el valor de x fijo, entonces M es un punto fijo de la gráfica. Δx varia tendiendo a cero, el punto P se mueve a lo largo de la curva, aproximándose a M como límite; pero la secante MP girará alrededor de M y su límite será la tangente en M.

α= angulo de la secante

Ѳ= angulo de la tangente

Lim α  = Ѳ; tangα  = Δy                      dy  =  lim  tang Ѳ    →     dy = tangα

                                      Δx                      dx              Δx→ 0           dx     

Aquí una serie de gráficas que conseguí, con otra notación, pero se sigue bien la idea. Sugiero analizarlas, ya que no estoy en capacidad de hacer gráficas didácticas para mis seguidores, tendré que actualizarme. Y como imagino suponen, me da pereza... Favor hacer click en la imagen para estudiarla mejor.

Hasta aquí la entrada. Quiero resolver dos ejercicios básicos relacionados con este post, luego pasar a las fórmulas de derivación; demostraremos algunas ya que consideramos que sin el conocimiento del origen de estas fórmulas queda incompleta la comprensión de la parte básica del cálculo diferencial.  

Reposición...(III)

Tomado de La presencia de lo etereo...la necesidad de decir, de fecha 19 de julio de 2010

Yo, Evolución (III)

Los estados nacientes inician el proceso de afectar el existir presente. Un mundo agobiado de sensaciones palpables, de formas y sonidos complementados, representa el triunfo innegable de la autocapacidad de mutar. La tendencia autótrofa per se de su creación no satisface el valor de las eras de empeño de su admirable esfuerzo; el cosmos no se basta con ello: quiere saberse - no sentirse- útil...¿qué frenará al cosmos de su permanente anhelo? ¿cuáles energías amontonadas construirán el dique que impida que lo completo no fracture en beneficio de lo nimio? Lo que el universo mira, es acorde con lo que oye y con lo que palpa; sintonizan en un amasijo que desespera por expulsar lo informe que en algún instante recibe. Y en un continuo proceso de curiosa y voluntaria exclusión, digiere simultaneamente el fondo anhelado que lo conecta con la tremenda realidad existente: comienza a comprenderse... y regocijado de su conquista no pende más de las asociaciones fortuitas; y festeja de su herramienta completa; la creación de su naturaleza, de su propia conciencia:iel cosmos piensa!