viernes, 27 de abril de 2012

Conceptos Básicos De Álgebra Lineal... (II)



En la serie que estamos presentando, recurro a repetir ejemplos, explicaciones, de forma intencional, ya que una de las aspiraciones que tengo es que sea leída por adolescentes y neófitos en la materia. En nuestra primer post comentamos que es importante dejar atrás la sugestión de trabajar con símbolos diferentes a los números y que no podemos prescindir del lenguaje algebraico en nuestra comunicación cotidiana, por tanto debemos tener una idea clara y practica del uso de estos, pero antes debemos hacer un aparte para hablar del uso y significado de los signos en algebra básica.

Los signos + (positivo) y –  (negativo) en aritmética tienden a traer confusión en el estudiante, y no digamos en el álgebra básica. Los estudiantes utilizan todo el tiempo los signos + y – al sumar y restar y no tienen confusión al realizar operaciones aritméticas sencillas tales como

10-5
8-3
89-17

El problema comienza cuando cambiamos la posición de los números y de los signos, por ejemplo

-5+10
-3+8
-17+89

Las cantidades del ejemplo 1 y del ejemplo 2 son exactamente las mismas, cada cantidad y cada signo han sido respetados, pero la posición ha sido cambiada. Aquí aparece una sugestión en la mente de los neófitos; el profesor debe conocerla, tener plena conciencia de ella y por tanto debe ser eliminada  de los estudiantes, si no lo hace, entonces avanzará el programa de estudios pero una buena parte de los estudiantes se quedaran en el limbo. ¿Por qué la mayoría de los estudiantes no puede realizar el segundo ejemplo y todos pueden resolver sin problemas el primero? A primera vista no debiera haber inconvenientes para encontrar la solución, pues en ambos ejemplos la solución es exactamente la misma. Sencillo, en la mayor parte del tiempo de estudios primarios el niño no maneja el signo negativo escrito en la primera cantidad de la operación (no usare las palabras minuendo ni sustraendo, ni sumandos en ninguna entrada de la serie), esta acostumbrado por el sistema a mirar el signo negativo en medio de al menos dos cantidades y ese es precisamente el caso presentado en el ejemplo 1.

En la medida que finaliza sus estudios primarios se topa con operaciones similares a nuestro ejemplo 2, recibe explicaciones de cómo se resuelven, le explican una confusa y abstracta ley de signos etc., y mecánicamente logra resolver algunos problemas que lo preparan para pasar un examen de grado, pero de fondo no sabe. Por eso tiende a confundir la ley de signos en multiplicación y división con la de suma y resta. Se que estamos teorizando mucho, pero es imprescindible esta aclaración.

Qué hacer para acabar con la sugestión

Debemos decirle al estudiante que es conveniente y correcto al proceder a realizar la operación, colocar el número mayor sobre el número menor tanto en la suma como en la resta. En el primer ejemplo que resolveremos aplicaremos la suma.

5+23

Esta suma la escribimos de la siguiente manera

23                               Numero mayor
 5                                Numero menor
28                               Resultado

Si realizamos una resta hacemos lo mismo

23-5

Esta resta la escribimos de la siguiente manera

23                               Número mayor
- 5                               Número menor
18                               Resultado

Ahora resolveremos este último ejemplo con las mismas cantidades pero cambiando la posición de los números, respetándoles el signo

-5+23

Para resolverlo escribiremos el número mayor encima del menor, respetando el signo de cada uno

23                               Número mayor
-5                                Número menor
18                               Resultado
   
Como podemos ver, no importa la posición donde coloquemos los números, si tenemos el cuidado de escribir cada uno con sus respectivos signos, el resultado será exactamente el mismo.

Cuándo sumar o cuándo restar y qué signo colocarle al resultado de la suma o resta

De la correcta explicación a esta cuestión depende enormemente que los estudiantes no tengan confusión al realizar estas operaciones básicas del álgebra. La respuesta es sencilla, cuando dos números tienen signos diferentes los restamos. No importa si el signo – (negativo o menos) está escrito en la primera cantidad o en la segunda. Si ambas cantidades tienen signos diferentes, o sea, si una tiene signo negativo y la otra signo positivo, hay una resta. Al resultado de la suma o de la resta debemos colocarle el signo del número con mayor valor absoluto, o dicho mas sencillo, el signo del número mayor. Veamos los ejemplos siguientes

23-8               en este caso 23 es positivo (+) y 8 es negativo (-) ambos tienen signos diferentes, debemos restar. Con resultado positivo ya que el 23 es mayor.
  
15-17               15   es positivo (+) y 17 es negativo (-) debemos restar. El resultado es negativo ya que el 17 es el mayor.

-18+11             18 es negativo (-) y 11 es positivo (+) debemos restar. El resultado es ne-
                           tivo ya que el 18 es mayor.

-1+5                  1 es negativo (-) y 5 es positivo (+) debemos restar. El resultado es posi-
                           tivo ya que el 5 es el número mayor.

Cuando los signos son iguales debemos sumar y al resultado le ponemos el signo que tienen ambos.

23+8               Ambos números tienen signo positivo (+) debemos sumarlos. El resulta-
                        do es positivo, porque ambos son positivos.

-15-17             ambos números tienen signo negativo (-) por ser iguales debemos sumar
                        los. El resultado es negativo, porque ambos son negativos.

-18-11             Ambos números son negativos (-) debemos sumarlos. El resultado es ne-
                        tivo, porque ambos son negativos.

No debemos olvidar que para realizar la suma o la resta debemos colocar, para mayor facilidad en la operación, el número mayor sobre el número menor, como veremos nuevamente a continuación

-18+15

-18                  Como ambas cantidades tienen signos diferentes, las restamos y al resul-
 15                   tado le ponemos el signo del número mayor, en este caso es negativo (-)
- 3 
       
-3+11

11                    Ambos tienen signos diferentes, los restamos y al resultado le ponemos el
-3                    signo positivo (+) porque el 11 es el número mayor.
 8

-13-86

-86                  Ambos tienen signos negativos (-), debemos sumarlos y al resultado le po
-13                 nemos el signo que tienen los dos.
-99

Hay razones matemáticas que explican esta llamada ley de signos y que no trataremos en esta serie de entradas sobre álgebra básica. Nos limitaremos a dar ideas prácticas que den conciencia a los lectores y seguidores de este, mi humilde rinconcito virtual. En el próximo post hablaremos de la relación que tiene lo que hemos visto hoy con el álgebra y de por qué el saber sumar o restar cantidades con signos iguales o diferentes es fundamental para poder avanzar en esta rama de las matemáticas.

domingo, 22 de abril de 2012

Conceptos Básicos de Álgebra Lineal... (I)



No estaba en mis planes hacer algunas entradas sobre los principios básicos del algebra lineal, mi idea era reorganizar las entradas sobre números, retomar la serie matemáticas cotidianas, luego hablar un poco sobre el algebra lineal, y así obedecer la secuencia correcta de aprendizaje. Pero las clases de mi hijo no me dejan otra alternativa que subir algunas entradas sobre el tema. Él, como la mayoría de estudiantes que finalizan la primaria se sugestiona cuando tiene que sumar letras y números combinados. Y con esta serie quiero, no solo ayudar a resolver problemas sencillos de algebra sino, y es lo más importante, romper con dicho temor.

En el primer curso de primaria los niños suman letras

Los niños no pueden ver los números, entre otras cosas porque no pueden palparlos, ponerlos en su boca, etc., por eso, cuando se les quiere enseñar a conocer las primeras cantidades, se apela a dibujitos de manzanas, de peras, etc., pero también se utilizan notaciones propiamente algebraicas, como las letras, por ejemplo

P + P +  P + P + P    5P

Los niños aprenden a responder el resultado de estas sumas sin mucha dificultad. Pero sucede que cuando aprenden a trabajar con los símbolos numéricos, durante casi toda la primaria no vuelven a operar cantidades representadas con letras. Por eso, si a un estudiante que finaliza los estudios medios le dices que resuelva el siguiente ejemplo, no puede hacerlo

a+a+a+a+a = 5a

Inmediatamente dice que las letras no se pueden sumar. Pero si le das una pagina de un libro y le dices que cuente todas las letras m que encuentre en ella, sin dudar ni equivocarse, procede a darte el resultado.

Si le decimos al estudiante que estamos en la hora de algebra y que sume las letras a que le pongo en un ejercicio no puede hacerlo, pero si le digo, cinco segundos después que la hora de algebra acabó y que entramos a la de literatura, que el ejercicio es sumar las letras a que encuentre en la primera pagina del libro de texto, lo hace sin titubeos…

El problema está en que al iniciar los cursos de algebra debe decírseles a los estudiantes que no hay diferencia en la operación de sumar letras especificas de un libro y sumar las letras que se usan en álgebra. Pero también, se debe aclarar que el álgebra básica es parte del lenguaje cotidiano, que no podemos prescindir de el y si lo intentamos no podemos comunicarnos correctamente, incurriríamos en absurdos.

Veamos algunos ejemplos

En un curso de literatura el profesor pide contar las letras m que aparecen en la primera página del libro de texto, los estudiantes las cuentan y tienen como resultado cincuenta m o lo que es lo mismo 50m. Luego  el profesor sugiere que cuenten las letras m de las dos paginas siguientes y los estudiantes cuentan cuarenta m en la página dos y sesenta y cinco m en la página tres. El paso siguiente es preguntar al curso cuantas letras m tenemos en la pagina uno y dos y el curso de literatura, responde sin la mas minima dificultad que tienen noventa m.  Luego pregunta cuantas m hay en las dos ultimas páginas y responden de inmediato ciento cinco m. Bien, dice el profesor, cuantas letras tenemos en las tres paginas y el curso responde a coro, tenemos ciento cincuenta y cinco m.

Cómo calcularon todas las letras m de las tres primeras paginas los estudiantes del curso de literatura?

Lo primero que hicieron fue contar una a una las letras m, en cada página. Luego sumaron el total de cada página. O sea
  
Primera página   50m
Segunda página 40m
Tercera página   65m
Total               155m

Otra forma de escribir la operación es

50m + 40m + 65m = 155m

Como estamos sumando letras m lógicamente el resultado debe ser con letra m

El ejemplo viene al caso ya que si el curso es de álgebra los estudiantes usualmente no tienen idea de qué hacer. Si el profesor de álgebra le pide a sus alumnos, en el primer día de clases que realicen la operación siguiente

5a + 2a + 9a = ___

La mayoría de los estudiantes que inician el curso no tendrán idea del resultado, incluso uno que otro opinará que no sabían que se pueden sumar letras. Cómo explicar que los mismos estudiantes en la hora de literatura no tengan dificultad en sumar letras y cuando inicia la hora de álgebra se sienten incapacitados de realizar dicha operación?

En mi opinión, no es correcto que el sistema educativo excluya el abc del álgebra de los niveles primarios. Si ya los niños demuestran que pueden sumar y restar letras,  manzanas, peras, bananas, no es justificable que desaparezca por tantos años este ejercicio algébrico.

Resumiendo, si un conjunto de estudiantes están en capacidad de sumar letras en el curso de literatura y no pueden hacerlo cuando inicia el curso de álgebra, entonces hay una confusión que debe ser comprendida y superada por el profesor correspondiente, antes de entrar de lleno en materia. También debemos aclararles a los estudiantes iniciales de álgebra lo del lenguaje cotidiano y su relación con el lenguaje algébrico, de lo indisolubles que son. Cuando compramos en el supermercado usamos lenguaje algebraico,  pues decimos

Cuatro latas de frijoles
Veinte tomates
Diez sobres de café

Sin un lenguaje ligado al algebra no podríamos decir lo que queremos adquirir, ya que en lenguaje aritmético mencionaríamos únicamente las cantidades sin especificar de que estamos hablando

Cuatro
Veinte
Diez

El álgebra resume gran parte del lenguaje cotidiano a símbolos muy prácticos, de feliz manejo. Por ejemplo, si llamamos f a las latas de frijoles t al tomate, c al café, escribiríamos el anterior ejemplo de la siguiente forma

  4f
20t
10c

Para finalizar diríamos en lenguaje cotidiano que compramos en el supermercado: cuatro latas de frijoles más veinte tomates más diez sobre de café. En álgebra lo escribimos de la siguiente manera

4f + 20t + 10c

En la siguiente entrada continuaremos con estos comentarios.