Matemáticas Cotidianas... (I)

  

Hay problemas sencillos en el diario vivir que se tornan difíciles de resolver si no conocemos algunas operaciones aritméticas básicas. En esta serie de entradas presentamos procedimientos útiles sobre la aplicación del máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

Máximo Común Divisor  

Tomamos un  número, digamos 50, este es divisible por 1, 2, 5,10, 50; o sea 50/2, 50/5, 50/10, 50/50; de igual manera podemos hacer con el 66, 66/1, 66/2, 66/3, 66/6, 66/11, 66/22, 66/33, 66/66; en el lenguaje cotidiano decimos: si tengo una tarta marcada con 50 pedazos y quiero repartirla a 10 personas debo darle 50 /10 o 5  pedazos a cada una; a 5 personas, 50/5 o 10 pedazos a cada una, a 2 personas  50/2 o 25 pedazos a cada una; si son 66 pedazos y quiero poner estos envueltos en trozos de papel sin que sobre tarta ni falte papel pues tengo las opciones de mi ejemplo anterior, repito: todos los pedazos en un solo papel o 66/1, dos papeles de envolver con 33 pedazos cada uno o 66/2, tres papeles para 22 pedazos o 66/3 etc.

Podemos cambiar la tarta del ejemplo por tablas o telas que se deben cortar sin que sobren retazos y el sentido del ejemplo se mantiene igual. El problema puede tomar una perspectiva más amplia si nos preguntamos ¿existen números que dividan al mismo tiempo al 50 y 66 sin que nos queden sobras? Y si existen esos numeros ¿como encontrarlos? Para esto debemos descomponer ambas cantidades en factores llamados primos. Los números primos solo pueden dividirse entre dos cantidades sin que quede residuo de la division, o sea, entre ellos mismos y entre uno. Para descomponer usamos el siguiente método:

 N  / P                       N  / P

50 / 2  =  25             66 / 2 =  33

25 / 5  =    5             33 / 3 =  11

  5 / 5  =    1             11 /11=    1

         1                             1

N = cantidad  ;  P = factores primos

Vemos que el factor 2 es el único número que está presente en las dos cantidades y cumple con ser divisible entre ambos: 50/2  y  66/2; podemos ver que las dos divisiones no dejan residuo, sus resultados son 25 y 33.

Otro ejemplo sería con las cantidades 48 y 64  y 72 Y 96.

      N  / P                         N  / P                            N  / P                  N  / P 

  48 / 2  =  24               64 / 2  =  32               72 / 2 = 36          96 / 2 = 48

  24 / 2  =  12               32 / 2  =  16               36 / 2 = 18          48 / 2 = 24

  12 / 2  =    6               16 / 2  =   8               18 / 2 =  9           24 / 2 = 12

    6 / 2  =    3                 8 / 2  =   4                 9 / 3 =  3          12 / 2 =   6

    3 / 3  =    1                 4 / 2  =   2                 3 / 3 =  1            6 / 2 =  3

                              2 / 2 =  1                                   3 / 3 =  1        

                                         

Los números primos (P) necesarios que tenemos que multiplicar para formar cada una de las cantidades son

                                       

48 = 2x2x2x2x3                                                       72 = 2x2x2x3x3          (I)

64 = 2x2x2x2x2x2                                                   96 = 2x2x2x2x2x3

En el caso de 48 y 64  podemos agrupar los factores primos de la siguiente manera

48 = (2x2x2x2) x 3        o     16 x 3                                                        (II)

64 = (2x2x2x2) x (2x2)    o     16 x (2x2)   o  16 x 4

16 es la mayor cantidad que divide a ambos números sin que la división deje residuo

48/16 = 3   y   64/16 = 4

Decimos que 16 es el máximo común divisor entre las dos cantidades.

Para 72 y 96 realizamos el mismo procedimiento de agrupación de los factores primos

72 = (2x2x2x3) x 3            o   24 x 3                                          (III)

96 = (2x2x2x3) x 2x2       o   24 x 4

Expliquemos el razonamiento utilizado para agrupar

El factor primo 2 se repite  tres veces en el numero 72 y 5 veces en el numero 96 mientras que el factor primo 3 esta presente dos veces en el 72 y una vez en el 96; procedemos a formar grupos partiendo respectivamente de la cantidad que tenga menos repeticiones de cada factor. En el caso que nos ocupa agrupamos el factor 2 a partir del 72 y el factor 3 a partir del 96.

Agrupando el factor primo 2  a partir de la cantidad de repeticiones que tiene en el numero 72

72 = (2x2x2) x 3x3            

96 = (2x2x2) x (2x2) x 3

Agrupando el factor primo 3 a partir de la cantidad de repeticiones que tiene en el numero 96

72 = (2x2x2x3) x 3          o   24 x 3

96 = (2x2x2x3) x 2x2      o    24 x 4

Obtenemos la misma agrupación que vemos en  (III). Tenemos como resultado que la mayor cantidad posible que divide al 72 y 96 sin que la división deje residuo es el 24

72/24 = 3

96/24 = 4

Decimos que el máximo común divisor de ambas cantidades es el 24.