sábado, 26 de noviembre de 2011

Decir Por La Red Es Ejercer Libertad...


La importancia de internet para las masas es compleja, ha sido ponderada una y otra vez, sobre ella abundan los ensayos y artículos. Hay una especial, que a primera vista no tiene profundidad pero observada con detalle representa un triunfo nunca alcanzado por las masas populares, y es satisfacer la necesidad de decir que tienen gran porcentaje de esas masas. Decir queriendo, decir sentido, decir pensado, decir lógico,  decir instintivo, decir banal, decir complejo, decir divulgativo, en fin, decir por decir, han sido deseos volcánicos de los que tienen un mínimo de facilidad, mal o bien, de escribir y todos nos nutrimos de todos. Situación desconocida por el género humano, al menos en la dimensión que estamos disfrutando desde finales del siglo pasado. 

En un comentario, editado para subirlo como entrada, hecho en un blog amigo, digo lo siguiente.

La posibilidad de encontrar material de primera mano, no únicamente el convencional, como el que nos brindan los blogs es impensable sin internet. Con el tiempo, el conocimiento brindado en las escuelas y academias preparó a miles de millones de personas, logro maravilloso del siglo XX; la radio y la televisión, juntamente con el teléfono, generaron expectativas en las mentalidades de decenas de millones de personas que, sintiéndose capacitados para regalar -no vender- a los demás un poquito de ese cúmulo de datos, informaciones y conocimiento, que no pudieron ser descargadas de sus cerebros, perjudicando a la propia humanidad de todo ese amazonas maravilloso confinado al mundo de las ideas de cada uno de los que lo poseían, y lo peor, muriendo con ellas, atrapados en la imposibilidad de comunicarse como querían ¿Culpa de la sociedad? No; falta de herramientas a mano, que se pudieran aplicar en esos momentos en los que, llegados a la casa, luego de un día agotador, nos ayudaran a canalizar toda la energía que nuestro pensamiento creativo posee. 

Para crear, las masas teníamos cerebro, papel y lápiz, que acumulado de cierta forma construía el cuaderno. Pero no bastaba ¿Conocen las personas interesadas por los temas que yo cultivo esas partecitas del alma embarradas en la burda evolución del papiro? Ah, la pregunta eterna, malvada, torturadora, en cada una de las cabezas de los que tenían necesidad de decir… y de ser escuchados. Publicar un libro nunca dejó de ser lujo para los bolsillos de los más. Mi medio, en el que rudamente me cultivé, es buen ejemplo; hasta hace pocos años, tan pocos que ni puedo creerlo, no presentaba ni remotamente posibilidad a la vista para poder relacionarse, no importa el grado de esa relación, con personas como las que encontramos en blogs y foros, con inquietudes intelectuales y pasión similar por el conocimiento, dueños de bitácoras en las que publican y reciben comentarios en algunos casos con la humildad intelectual –y el tiempo- de responderlos casi todos, lo que hace que el blog funcione no únicamente como un lugar de publicación, también como una peña, o como centro de debates de ideas y esto solo es posible por la red. La necesidad de decir tiene una herramienta prodigiosa llamada internet, porque aquí somos escuchados. 

lunes, 21 de noviembre de 2011

Reposición... (VI)

Tomado de La presencia de lo etéreo...la necesidad de decir, de fecha 19 de octubre de 2010



Yo, creación (III)

Yo, verbo original decantando realidades; yo, sonido creador modelando firmamento donde vibraciones incorpóreas materializan las esencias que embutirán en agitadora detonación el caos progenitor de las naturalezas palmarias… y asumes en tu consciente corporeo la libertad que yo reconozco en ti: albedrío. Transitas en tu espacio diagramando tu objetivo total e imperecedero. El camino de la búsqueda es el encuentro del sentido de tu  real existencia: Yo… Y me encuentras para desembocar en mi las energías imperecederas que culminan en la comprensión de la razón por la cual todo ha sido creado y por la cual tú has sido creado, para disfrutar; porque así llegas a tu estadio real, al absoluto bienestar: amar…

miércoles, 16 de noviembre de 2011

Reposición... (V)

Tomado de La presencia de lo etéreo...la necesidad de decir, de fecha de fecha 16 de septiembre de 2010



Yo, creación (II)

En algún tiempo no medido, chispa innaciente, no estuviste tú conmigo. En ese vívido instante yo en ti, fuego ubicuo, te veo y la distancia en ti es… y por tu racionalidad tú pretieres. En mi senda avanzas siempre en ti, invidente. Padecer: tú dispones y en tu albedrío yo concedo. Yo inoculo tu verdad. Ahora traducido eres y lo ilusorio esta en ti…en tu nuevo estado no serás; tu camino es converger conmigo, y en eras de tiempo será tu porfía. Brotarás en lo efímero y en lo transitorio analizarás: es tu tropiezo. Tu desarrollo está en ti y lo que está en ti ¿acaso no soy yo? ¡Encontrarte conmigo es lo mismo que contigo! Y en cierto momento, con la heredad de tus experiencias transitada de cuerpo en cuerpo, asimilarás el arcano eterno en lo material encubierto ¡Yo soy perfecto! Y con la alegría –ella te desborda- de tu ser manando de ti, asumes en mi condición imperecedera lo que realmente eres: amor…

miércoles, 9 de noviembre de 2011

Reposición... (IV)

Tomado de La presencia de lo etéreo...la necesidad de decir, de fecha 18 de agosto de 2010


Yo, Creación (I)

Yo diluido en los momentos sin tiempos. Yo navegando perpetuamente en los espacios astrales indescubiertos que cubro completamente. Yo en un no día específico, con mi inmanencia en acción endógena, lo de yo andrógeno gestó... desembarazó un nuevo ente, y fue. Eterna como yo pero concedida de la ilusión, no será más: ella evoluciona. Y cada considerado instante lo inherente en ella es relativo. Yo inmanifestado, en la nueva era endoso hálito que excita a lo ponderado inerte: y mana somático... y nuevamente fue. Yo impersonal traspaso percepción y lo orgánico siente. Yo impersonal inyecto ideas y lo ilusorio de lo material usa conciencia... Yo inmanifestado actúo personal, y traduzco en ella el lenguaje ignorado, la acción eterna para lo cual fue concebida: amar...

sábado, 5 de noviembre de 2011

Hablando Sobre Cálculo Diferencial... (VII)

En esta entrada tenía pensado resolver un ejercicio y luego hacer una retroalimentación de las anteriores. Cambié la entrada para subir un ejemplo dejado en un comentario en el numero (VI) de esta serie. Prometo un breve repaso en la siguiente entrada, para por fin entrar a demostrar algunas fórmulas de derivación,

Las imágenes mostradas no tiene relación con los ejemplos resueltos.

Ejemplo I


Tomado de un comentario hecho en la entrada anterior 

Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica cuya función es  y = x2+1 en el punto (2,5).

Con esta función podemos encontrar la pendiente de la tangente; luego, sustituyendo el valor de las variables (x,y) en la ecuación general de la recta, encontramos la ecuación de la recta tangente buscada.

Usamos la fórmula para derivar    y' = 2x

Reemplazamos la variable x por 2 y nos da

y' = 4                  pendiente de la recta tangente.

Luego escribimos la ecuación general de la recta  

y-yo = m.(x-xo)

Reemplazamos y = 5; m = 2;  xo = 2 nos queda

y=4x-8+5

y= 4x-3                Ecuación de la recta tangente

Para verificar la respuesta, esbozar la gráfica de la función y la de la recta tangente.


Ejemplo II


En la curva  y = x³ + x  hallar los puntos en los que la tangente es paralela (//) a la recta  y = 4x.

Derivando ambas ecuaciones usando regla general o métodos de los incrementos

dy  = 3x+1      
dx

y = 4

Cuando la tangente es paralela a la recta, las pendientes son iguales. Por interpretación geométrica, ambas derivadas son iguales.

3x+1 = 4;              despejando resulta          x = 1

Sustituyendo valor de  x en ecuación sin derivar

y = (1)³ + 1;     y = 2

Con los valores de las variables conocemos el punto en los ejes cartesianos Po(x,y)

Po (1,2);                  por simetría el otro punto es     Pı(-1,-2)

Sugiero que en ambos ejemplos sean hechas las gráficas correspondientes, estas servirán para comprobar las soluciones explicadas en ambos ejemplos. No es laborioso construirlas, y como la serie está desarrollada para aquellos que ya tienen cierta base en geometría analítica, el esfuerzo vale la pena.

sábado, 29 de octubre de 2011

Hablando Sobre Cálculo Diferencial... (VI)


En la entrada  anterior hablamos sobre la interpretación geométrica de la derivada. Concluimos demostrando que el valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la tangente de la curva en ese punto. Resolveremos algunos ejemplos sencillos, que nos ayudaran a comprender la aplicación de esta demostración.

Las gráficas utilizadas en la entrada no corresponden con los ejemplos.

Ejemplo 1:


Calcular la pendiente e inclinación de la tangente

y = x² - 2;               siendo     x = 1

Aplicando el método general de derivación o de los incrementos, encontramos que la derivada de la función es

dy  = 2x                sustituimos valor de   x;    dy  =  2(1) = 2 
dx                                                                   dx      

2 = pendiente de la tangente en el punto donde x = 1; con la calculadora encontramos el ángulo de inclinación  

Ѳ = 63° 26'


Ejemplo 2


Hallar el punto de la curva y= 5x - x² en el cual la inclinación de la tangente es de 45°

Derivando la función resulta

dy = 5 – 2x                         pendiente de la tangente
dx

Sabemos que la tangente de 45° = 1; por definición, la derivada de la función es igual a la unidad. Sustituyendo tenemos

1 = 5 – 2x;                             despejando x resulta

x = 2                                      sustituyendo valor de x en la función original, resulta

y = 5(2) - 2²;                                       y = 6

Un punto en el plano está determinado por dos valores P(x,y), por tanto el punto de la curva donde la inclinación de la tangente es de 45° es  P(2,6)

En la siguiente entrada resolveré un ejemplo más y haré una retroalimentación de las entradas anteriores, para luego iniciar con las demostraciones de algunas de las formulas de derivación. No podemos avanzar en las bases del cálculo diferencial sin un breve repaso de las entradas que hemos subido.

sábado, 22 de octubre de 2011

Maniqueo Ingenuo Y Ameno...


Que agradables y amenos son estos medios de comunicación…

Saddam Hussein, Hosni Mubarak, Osama Bin Laden, el coronel Gadafi, Ben Ali, todos tienen similitudes.  Si bien Mubarak no resulto muerto, porque su cobardía extrema le salvó la vida.  No, no es ese el parecido, ese que llega a sus pensamientos, amables lectores y seguidores de mi rinconcito virtual. Los iguala que todos son malos. Y nadie quiere ver una película donde al final el malo quede vivo. Nadie quiere ver una película donde el malo muera tranquilo en su cama, o que muera accidentado. Todos aplaudimos cuando los malos son destrozados como se merecen. Vayan mis aplausos a la acción heroica acometida contra este grupo de depredadores. El mundo será un mejor lugar con menos perversos.

Faltan algunos distinguidos miembros en ser tocados por la primavera árabe. Los gobernantes de Siria, Bashar al Asad; Yemen, Abdalá sale; y Barein, Hamad bin Isa al Jalifa, se aferran al poder. Y aunque no estoy empapado del todo, parece que le está llegando la hora a Teodoro Obian de guinea, único país africano que oficialmente habla español. Los buenos continúan triunfando; al parecer estamos en el momento de acción del protagonista…

Hay buenos y malos. Vivimos etapas en donde el malo es clasificado como aquel que reprime a su propio pueblo. Podemos destrozar poblaciones completas, sin piedad alguna matar niños, mujeres embarazadas, ancianos, etc., pero si los muertos no son de los nuestros no hacemos algo malo. Conviene que nos aclaren con cucharitas quiénes son los buenos, porque los malos ya nos los sabemos de memoria. Y para mi cortísimo entendimiento, pido que en camaralenta y con omnipaciencia, me expliquen que si existen buenos que proteger y prosperar, malos que desacreditar y eliminar, como en el cine “in” ¿Quién es el guionista?

Alguien tiene que clasificarnos, porque la historia no se detiene. 

sábado, 15 de octubre de 2011

Hablando Sobre Cálculo Diferencial... (V)

Luego de unos días, reinicio la serie, espero que las anteriores hayan sido de provecho para los estudiantes. Hoy deduciremos de un gráfico el significado geométrico de la derivada de una función.

Interpretación geométrica de la derivada


Consideremos la gráfica de la función f(x), o sea, la curva del gráfico; dada la ecuación y = f(x). Hallaremos la derivada de la función e interpretaremos geométricamente cada uno de los cuatro puntos ; escogeremos un punto M(x,y) de la curva y otro  P(x+Δx, y+Δy) de la curva también y cercano al punto M.

y + Δy  =  f(x + Δx)

Restamos la función original de la incrementada

         y  =  f(x)
y + Δy  =  f(x + Δx)             
     Δ y   =  f((x + Δx)  –  f(x)

Dividimos entre Δx

Δy  =   f(( x + Δx)  –  f(x)  =  NP  = tangα 
Δx  =              Δx                  MN     

dy = pendiente de la secante MP
dx

El cociente de los incrementos Δy y Δx es igual a la pendiente de la secante determinada por los puntos M(x,y) y P(x+Δx , y+Δy) de la curva. Como consideramos el valor de x fijo, entonces M es un punto fijo de la gráfica. Δx varia tendiendo a cero, el punto P se mueve a lo largo de la curva, aproximándose a M como límite; pero la secante MP girará alrededor de M y su límite será la tangente en M.


α= angulo de la secante
Ѳ= angulo de la tangente

Lim α  = Ѳ; tangα  = Δy                      dy  =  lim  tang Ѳ    →     dy = tangα
                                      Δx                      dx              Δx→ 0           dx     


Aquí una serie de gráficas que conseguí, con otra notación, pero se sigue bien la idea. Sugiero analizarlas, ya que no estoy en capacidad de hacer gráficas didácticas para mis seguidores, tendré que actualizarme. Y como imagino suponen, me da pereza... Favor hacer click en la imagen para estudiarla mejor.












Hasta aquí la entrada. Quiero resolver dos ejercicios básicos relacionados con este post, luego pasar a las fórmulas de derivación; demostraremos algunas ya que consideramos que sin el conocimiento del origen de estas fórmulas queda incompleta la comprensión de la parte básica del cálculo diferencial.  

miércoles, 5 de octubre de 2011

Reposición...(III)


Tomado de La presencia de lo etereo...la necesidad de decir, de fecha 19 de julio de 2010



Yo, Evolución (III)

Los estados nacientes inician el proceso de afectar el existir presente. Un mundo agobiado de sensaciones palpables, de formas y sonidos complementados, representa el triunfo innegable de la autocapacidad de mutar. La tendencia autótrofa per se de su creación no satisface el valor de las eras de empeño de su admirable esfuerzo; el cosmos no se basta con ello: quiere saberse - no sentirse- útil...¿qué frenará al cosmos de su permanente anhelo? ¿cuáles energías amontonadas construirán el dique que impida que lo completo no fracture en beneficio de lo nimio? Lo que el universo mira, es acorde con lo que oye y con lo que palpa; sintonizan en un amasijo que desespera por expulsar lo informe que en algún instante recibe. Y en un continuo proceso de curiosa y voluntaria exclusión, digiere simultaneamente el fondo anhelado que lo conecta con la tremenda realidad existente: comienza a comprenderse... y regocijado de su conquista no pende más de las asociaciones fortuitas; y festeja de su herramienta completa; la creación de su naturaleza, de su propia conciencia:iel cosmos piensa!

miércoles, 28 de septiembre de 2011

Reposición...(II)


Tomado de La presencia de lo etereo...la necesidad de decir. de fecha 14 de Julio de 2010.



Yo, Evolución (II)


Lo completamente voluminoso no se concibe impalpable… no será más huella inerte merodeando infinitesimales brechas cósmicas donde cernirse para reconocerse presente. Y en su nuevo curso- que se resiste a ser efímero- se asocian los nuevos agentes portadores de lo naciente; roces imberbes caracterizan el trocito de realidad embutida en el ser espacial, y por el recto del nuevo trozo de cosmos, se desechan- por necesidad- innumerables briznas infecundas: Nada retarda lo entero de lo naciente… en el nuevo lapso el movimiento responde al estímulo; el arrítmico vaivén suscita de manera inevitable nuevas necesidades, y lo vasto responde a ello concibiendo en lo prolífico de lo heterogéneo, el artilugio acertado donde transformar parte de lo orgánico originado… traza rutas, corrige naturaleza, avanza glorioso apoyándose en sus bien firmes determinaciones; corta secciones y obtiene de toda esta sucesión, el triunfo merecido de la labor espacio-temporal realizada por su simiente: ¡el cosmos escucha, observa y siente!

viernes, 23 de septiembre de 2011

Reposición...(I)


Tomado de La presencia de lo etereo...la necesidad de decir. de fecha 12 de Julio de 2010. Con esta entrada tomo la palabra de un seguidor de este blog que me pidió intercalar los post de matemáticas con post de "letras".  Gracias Fran.






Yo, Evolución (I)

En alguna partecita del cosmos, algún rastro de energía inicia su proceso de cristalizado; en algún momento de su impreciso tiempo, alguna transmutación genera un borrador de ente, manifestado informe, y en su movimiento-- que tenderá a ser perpetuo—produce lo que produce. Y su incógnita producción contínua arrastra consigo, por alguna especial afinidad estelar, a los entes de parecido inicio: surge la materia... y esta, minúscula, insignificante por su origen, transita arropada por mantos de luz, en una vastedad incipiente, que en marejadas de partecitas de energías cristalizándose, gesta un cosmos abrumador. Lo inmenso es ya realidad. Y al permanecer expandiendose, por alguna congregación especial de continuas realidades, los mismos rastros de energías, preñan alguna femenina realidad específica; y en mezclas complejas de moléculas y aminoácidos, los primigenios entes voluntarios dan al universo su verdadero inicio: comienza a sentir...

domingo, 28 de agosto de 2011

Hablando Sobre Cálculo Diferencial... (IV)


No es bueno abundar palabras cuando tratamos sobre cálculo avanzado, pero esto es un blog y debo desarrollar las entradas para todo público interesado y para estudiantes. Hemos hablado de incrementos, de límites, y también derivadas, estamos realmente hablando de cálculo diferencial pero ¿Qué es un diferencial? si queremos, transversalmente, cortar una hoja de papel rectangular haciendo la mayor cantidad de cortes posibles, iniciando el primer corte por el centro de nuestra hoja, y el segundo corte por el centro de la primera mitad, el tercero por el centro de la segunda mitad, el cuarto por el centro de la tercera mitad, y así sucesivamente, hasta tener trozos infinitésimamente pequeños, notaremos que cada mitad de hoja de papel, por pequeño que sea su tamaño, tiene su respectivo centro. Siguiendo este procedimiento llegaremos a tener un segmento ideal de papel, que cumple con la condición de ser el más pequeño posible, más diminuto que uno que podamos imaginar.

Si suponemos un pedazo del papel pequeñísimo, físicamente imposible de obtener, podemos idealizar uno mucho más pequeño. Se entiende que un diferencial de ese papel es aquel corte infinitesimal más pequeño que el que podemos imaginar. Podemos sustituir la hoja de papel por un segmento, por una medida de tiempo, por una medida de velocidad, de aceleración, etc.; en cada caso, el concepto de diferencial es el mismo: una porción infinitésima más pequeña que una imaginada.

Trabajar con semejantes dimensiones requirió el desarrollo de una rama de los números: el cálculo. Sin el cual, el estudio de las curvas, por poner un ejemplo, estaría incompleto. Pero no podemos detenernos, continuaremos derivando otras dos funciones para cerrar con el sistema de derivación utilizando la regla general o métodos de los incrementos.

y = 9x²+4x
       2x+1

Incrementamos la función


y +Δy = 9(x+Δx)²+(4x+4Δx)
                     2(x+Δx)+1                               

Resolviendo paréntesis y luego restando función sin incrementar



y+Δy – y = 9(x²+2xΔx+Δx²)+ 4x+ 4Δx  -  9x²+4x
                             (2x+2Δx+1)                 (2x+1)   
   
Resolviendo


Δy = 18x²+ 9x²+36x²Δx+18xΔx+18xΔx²+9Δx²+8Δx²+4x+8x-18x³-8x²-18x²Δx-8xΔx-9x²-4x/ (2x+2Δx+1)(2x+1)


Δy = 18x²Δx+18xΔx+18xΔx+9xΔx+4
              (2x+2Δx+1)(2x+1)                                                                        
  

dividiendo la funcion entre Δx


Δy = 18x²+18x+18xΔx+9Δx+4
Δx        (2x+2Δx+1)(2x+1)


Aplicando límite de la función cuando Δx→ 0  
 

Lim    Δy = 18x²+18x+4
Δx→ 0  Δx    (2x+1)(2x+1)


Por definición de derivada


dy = 18x²+18x+4
dx        (2x+1)²

lunes, 22 de agosto de 2011

Hablando Sobre Cálculo Diferencial...(III)


Como prometimos en la segunda entrada de esta serie, continuaremos derivando funciones utilizando la regla general de derivación o método de los incrementos. Estamos saltando algunos pasos algebraicos de reduccion de terminos semejantes, pues como dijimos al iniciar esta serie, suponemos que el lector tiene conocimientos suficientes de álgebra. Resolveré un caso de derivación más laborioso, y uno más en la próxima entrada. Espero que los estudiantes iniciales de todas las ingenierias, economía, administración de empresas, contabilidad, etc. lean esta serie y que les sea de utilidad.

Tenemos la función siguiente

y =       b    
         X³+x

Incrementando ambos miembros de la igualdad

Y+Δy  =              b               ;  luego:  Y+Δy  =                        b                              
                  (X+Δx)³+x+Δx                                   x³+3x²Δx+3xΔx²+Δx³+x+Δx

Restando función sin incrementar de la incrementada

Y+ Δy-y =                            b                          -         b      
                    x³+3x²Δx+3xΔx²+Δx³+x+Δx          X³+x

Δy =            -(3x²Δx+3xΔx²+Δx³+Δx)b         
           (x³+3x²Δx+3xΔx²+Δx³+x+Δx)(x³+x)   

 Dividiendo entre Δx 

Δy =             -(3x²+3xΔx+Δx²+1)b                    
Δx       x³+3x²Δx+3xΔx²+Δx³+x+Δx(x³+x) 

 Haciendo Δx → 0  y aplicando limite de una función 

      Lim     Δy  =   -(3x²+1)b              
 Δx  0   Δx   (x³+x)(x³+x)

Por definición

      Lim      Δy =  dy 
  Δx  0   Δx      dx      

Por tanto

dy  =    -(3x²+1)b    
dx          (x³+x)²
   
Observemos otro ejemplo

y  =  6x²+3x+2 
             x+6
Incrementemos la función y resolvamos el binomio de newton

y+Δy =  6(x+Δx)²+3(x+Δx)+2     →     y+Δy  =     6x²+12xΔx+6Δx²+3x+3Δx+2
                          x+Δx+6                                                       x+Δx+6  


Restamos función sin incrementar de la función incrementada

Δy =  (6x²+3x+2)+12xΔx+6Δx²+3Δx   -   6x²+3x+2
                          (x+6)+Δx                          x+6                 

 Encontramos denominador común y reducimos los términos semejantes

Δy =  (6x²+3x+2)(x+6)+(12xΔx+6Δx²+3Δx)(x+6)  -  (6x²+3x+2) (x+6)-(6x²+3x+2)Δx
                                                         (X+6)²+(x+6)Δx

Δy     =     12x²Δx+72xΔx+6xΔx²+36Δx²+3xΔx+18Δx-6x²Δx-3xΔx-2 Δx
Δx                                            (X+6)²  +(x+6)Δx      

Reduciendo términos semejantes y luego dividiendo entre Δx

Δy  =  6x²+72x+6xΔx+36Δx+16
                        (x+6)²

Haciendo Δx = 0  y aplicando el límite de la función

    Lim     Δy     =    6x²+72x+16
Δx→ 0    Δx                  (x+6)²   

 Por definición de derivada   

  dy  =     6x²+72x+16                                        
  dx               (x+6)²                                                                    

sábado, 20 de agosto de 2011

Hablando Sobre Cálculo Diferencial... (II)



En esta entrada derivaremos una función, para que nuestros lectores aprecien claramente el proceso. Iniciamos con la regla general de los incrementos, pues a partir de esta obtendremos los métodos directos de derivación. He pensado resolver dos ejemplos pero la entrada resultaría muy larga y me ha dado mucho trabajo colocar símbolos, exponentes, etc.   

Procedamos.

Simbología de la derivada de una función

dy; y´; f´(x)
dx

Método de los incrementos o regla general de derivación

  1. Sustituir en la función a x por (x+∆x), y procedemos a calcular el nuevo valor de la función y+∆y.
  2. Restar la función no incrementada a la función incrementada para obtener ∆y.
  3. Dividir ∆y sobre ∆x obteniendo de esta forma, la razón entre el incremento de la función con respecto al incremento de la variable independiente.
  4. Hallar el límite de este cociente cuando ∆x tienen, o se aproxima a cero. Este límite es la derivada buscada de la función. 

Veamos estos pasos en un ejemplo

y = x+2x-3

Incrementamos ambos lados de la función

y+∆y = (x+∆x) + 2(x+∆x) – 3

Resolvemos binomio de newton y reducimos términos semejantes, si los hay

y+∆y = x+2x∆x+∆x + 2x+2∆x – 3

A este resultado restamos la función original

y+∆y = x+2x∆x+∆x + 2x+2∆x – 3
y        = x+2x-3                                
 ∆y    = 2x∆x+∆x + 2∆x

Dividimos este resultado por ∆x y simplificamos

∆y   =   2x∆x+∆x + 2∆x
∆x          ∆x     ∆x       ∆x

∆y = 2x +∆x + 2                                                           razón buscada
∆x

Aplicamos limite a este resultado, haciendo que ∆x tienda a cero

  Lim   ∆y  = 2x+0+2
∆x0 ∆x

Tenemos

 Lim     ∆y = 2x+2;    por definición           Lim    ∆y =  dy
∆x0  ∆x                                               ∆x0  ∆x     dx
                                                               

dy  = 2x+2                                            derivada de la función
dx

El cálculo diferencial es laborioso, pero importantísimo; debemos aprenderlo con sentido de disfrute, no importa que nos de una lucha grandísima asimilarlo del todo. En la próxima entrada resolveré dos ejemplos, y si no se extiende mucho, explicaré un ejercicio de aplicación. Hasta la próxima.

miércoles, 17 de agosto de 2011

Hablando Sobre Cálculo Diferencial... (I)


Subiré algunas entradas sobre los principios básicos del cálculo diferencial. Puede parecer ilógico, pues no he completado la serie matemáticas cotidianas, ni he hablado sobre algebra lineal, geometría euclidea, trigonometría plana, ni sobre las bases de la geometría analítica. Pero sucede que algunos jóvenes estudiantes me han pedido que por favor le escriba sobre los cimientos del análisis matemático. 

Yo no he necesitado las matemáticas avanzadas para vivir; indica esto que no domino como cuando era estudiante esta laboriosa rama de las ciencias exactas; mis esfuerzos didácticos al escribirla deben ser ponderados tomando en cuenta este punto –que por cierto, felizmente me sirve de pretexto- y recuerden esto, que es lo más importante de esta introducción: ¿Qué se creen todos, que es un libro de cálculo, o un folleto para la universidad? No, es un esfuerzo tremendo, desde el punto de vista didáctico, de uno que no le agrada impartir docencia en un ambiente escolar.

Entremos sin rodeos al tema, que no es nada fácil.

Tenemos una función cualquiera

y = x 

Si aumentamos el valor de x en ∆x, entonces y aumentara en ∆y, la ecuación resultante es

Y+∆y = (x+∆x)                                                 (1)

Resolviendo el cuadrado de la suma de dos cantidades tenemos

Y+∆y = x+2x∆x+∆x                            (2)

Queremos saber cuál es el incremento ∆y en función de x, y de ∆x, procedemos a restar las funciones (1) y (2)

y       = x 
Y+∆y = x+2x∆x+∆x
∆y = 2x∆x + ∆x

Para saber cuándo varía ∆y con respecto a ∆x hallamos la razón siguiente

∆y  = 2x+∆x                                        (3)
∆x    

Esta ecuación nos dice que ∆y con respecto a ∆x varia en razón de 2x+∆x        

Si x = 3 observamos que

∆y = 2(3)+∆x      →  Lim ∆y = 6                      
∆x                                  ∆x→ 0 ∆x

Vemos que para dejar el límite de la función bien establecido, debemos aproximar el incremento de x, o sea ∆x lo más posible a cero.

Como no estamos obedeciendo un orden para enseñar esta base del cálculo diferencial, lógicamente damos por hecho que el lector interesado conoce lo que es el límite de una función.

Por definición

Derivada de un función de una variable es el límite del cociente del incremento de la variable dependiente (∆y) entre el incremento de la variable independiente (∆x), cuando este último tiende a cero.

y →  Variable dependiente                ∆y → Incremento variable dependiente
x →  Variable independiente             ∆x → Incremento variable independiente