sábado, 20 de agosto de 2011

Hablando Sobre Cálculo Diferencial... (II)



En esta entrada derivaremos una función, para que nuestros lectores aprecien claramente el proceso. Iniciamos con la regla general de los incrementos, pues a partir de esta obtendremos los métodos directos de derivación. He pensado resolver dos ejemplos pero la entrada resultaría muy larga y me ha dado mucho trabajo colocar símbolos, exponentes, etc.   

Procedamos.

Simbología de la derivada de una función

dy; y´; f´(x)
dx

Método de los incrementos o regla general de derivación

  1. Sustituir en la función a x por (x+∆x), y procedemos a calcular el nuevo valor de la función y+∆y.
  2. Restar la función no incrementada a la función incrementada para obtener ∆y.
  3. Dividir ∆y sobre ∆x obteniendo de esta forma, la razón entre el incremento de la función con respecto al incremento de la variable independiente.
  4. Hallar el límite de este cociente cuando ∆x tienen, o se aproxima a cero. Este límite es la derivada buscada de la función. 

Veamos estos pasos en un ejemplo

y = x+2x-3

Incrementamos ambos lados de la función

y+∆y = (x+∆x) + 2(x+∆x) – 3

Resolvemos binomio de newton y reducimos términos semejantes, si los hay

y+∆y = x+2x∆x+∆x + 2x+2∆x – 3

A este resultado restamos la función original

y+∆y = x+2x∆x+∆x + 2x+2∆x – 3
y        = x+2x-3                                
 ∆y    = 2x∆x+∆x + 2∆x

Dividimos este resultado por ∆x y simplificamos

∆y   =   2x∆x+∆x + 2∆x
∆x          ∆x     ∆x       ∆x

∆y = 2x +∆x + 2                                                           razón buscada
∆x

Aplicamos limite a este resultado, haciendo que ∆x tienda a cero

  Lim   ∆y  = 2x+0+2
∆x0 ∆x

Tenemos

 Lim     ∆y = 2x+2;    por definición           Lim    ∆y =  dy
∆x0  ∆x                                               ∆x0  ∆x     dx
                                                               

dy  = 2x+2                                            derivada de la función
dx

El cálculo diferencial es laborioso, pero importantísimo; debemos aprenderlo con sentido de disfrute, no importa que nos de una lucha grandísima asimilarlo del todo. En la próxima entrada resolveré dos ejemplos, y si no se extiende mucho, explicaré un ejercicio de aplicación. Hasta la próxima.

2 comentarios:

ana dijo...

yo de estos temas, como que no. De todas formas no quería dejar de comentar aunque sea una tontería.

besitos.

soy... dijo...

Siempre son gratos tus comentarios.

Gracias por pasearte por mi esquinita virtual.

saludos.