domingo, 28 de agosto de 2011

Hablando Sobre Cálculo Diferencial... (IV)


No es bueno abundar palabras cuando tratamos sobre cálculo avanzado, pero esto es un blog y debo desarrollar las entradas para todo público interesado y para estudiantes. Hemos hablado de incrementos, de límites, y también derivadas, estamos realmente hablando de cálculo diferencial pero ¿Qué es un diferencial? si queremos, transversalmente, cortar una hoja de papel rectangular haciendo la mayor cantidad de cortes posibles, iniciando el primer corte por el centro de nuestra hoja, y el segundo corte por el centro de la primera mitad, el tercero por el centro de la segunda mitad, el cuarto por el centro de la tercera mitad, y así sucesivamente, hasta tener trozos infinitésimamente pequeños, notaremos que cada mitad de hoja de papel, por pequeño que sea su tamaño, tiene su respectivo centro. Siguiendo este procedimiento llegaremos a tener un segmento ideal de papel, que cumple con la condición de ser el más pequeño posible, más diminuto que uno que podamos imaginar.

Si suponemos un pedazo del papel pequeñísimo, físicamente imposible de obtener, podemos idealizar uno mucho más pequeño. Se entiende que un diferencial de ese papel es aquel corte infinitesimal más pequeño que el que podemos imaginar. Podemos sustituir la hoja de papel por un segmento, por una medida de tiempo, por una medida de velocidad, de aceleración, etc.; en cada caso, el concepto de diferencial es el mismo: una porción infinitésima más pequeña que una imaginada.

Trabajar con semejantes dimensiones requirió el desarrollo de una rama de los números: el cálculo. Sin el cual, el estudio de las curvas, por poner un ejemplo, estaría incompleto. Pero no podemos detenernos, continuaremos derivando otras dos funciones para cerrar con el sistema de derivación utilizando la regla general o métodos de los incrementos.

y = 9x²+4x
       2x+1

Incrementamos la función


y +Δy = 9(x+Δx)²+(4x+4Δx)
                     2(x+Δx)+1                               

Resolviendo paréntesis y luego restando función sin incrementar



y+Δy – y = 9(x²+2xΔx+Δx²)+ 4x+ 4Δx  -  9x²+4x
                             (2x+2Δx+1)                 (2x+1)   
   
Resolviendo


Δy = 18x²+ 9x²+36x²Δx+18xΔx+18xΔx²+9Δx²+8Δx²+4x+8x-18x³-8x²-18x²Δx-8xΔx-9x²-4x/ (2x+2Δx+1)(2x+1)


Δy = 18x²Δx+18xΔx+18xΔx+9xΔx+4
              (2x+2Δx+1)(2x+1)                                                                        
  

dividiendo la funcion entre Δx


Δy = 18x²+18x+18xΔx+9Δx+4
Δx        (2x+2Δx+1)(2x+1)


Aplicando límite de la función cuando Δx→ 0  
 

Lim    Δy = 18x²+18x+4
Δx→ 0  Δx    (2x+1)(2x+1)


Por definición de derivada


dy = 18x²+18x+4
dx        (2x+1)²

9 comentarios:

clariana dijo...

¡Hola Soy!
Me interesan las Matemáticas, aunque no he podido llegar a ese nivel que expones en tu post.
Recuerdo un exámen en 6º de Bachillerato en que preparé el curso por mi cuenta, ya un poco mayor de la edad que corresponde al curso y como no podía aclararme yo sola con las integrales y las derivadas, pues mi nivel práctico llegó hasta 5º, me estudié muy bien la teoría pero sin poderla desarrollar en el sentido que te comento. Pues bien, dio la casualidad en el exámen (era por libre), de que tres de las preguntas eran teóricas y dos prácticas, bastante inusual en los exámenes de Matemáticas y pude aprobarlas con una nota de 6 (Aprobado.) Claro, las lagunas siguieron, pero ya en lo que estudié posteriormente, apenas entraban las Matemáticas.
Copiaré estos cálculos, a ver si puedo entender algo.
Un saludo.

soy... dijo...

Clariana

Me agrada que te gusten las mates, pero fíjate que estoy haciendo un esfuerzo didáctico, pero para los estudiantes e interesados que tienen cierta base; te prometo que luego de terminar esta serie prepararé una sobre matemáticas básicas, y toda la explicación mantendrá el criterio pedagógico que me esfuerzo en presentar.

Gracias por seguir la serie, que por cierto, me ha disminuido la frecuencia de visitantes al blog; imagino que no a todos nos gustan los números. Aun así vale la pena seguir.

Saludos.

clariana dijo...

Te seguiré en las Matemáticas.
Lo último que hice en esta materia fue un curso de Estadística en la Universidad, eran unos créditos de varias asignaturas para pasar al Ciclo Superior de Ciencias Políticas -tenía la carrera de Derecho- y quería seguir estudiando, aprobé las asignaturas para tal fin, pero ya dejé los estudios, pues no eran ya compatibles con todas las responsabilidades de trabajo y de família que tenía en ese momento.
Bueno mi trabajo era de maestra, pero siempre me ha gustado estudiar y paralelamente lo hacía, aunque me costó más años claro.
Disculpa por este rollo, era para decirte que me gustó mucho ese curso de Estadística, tuve que memorizar bastantes fórmulas y aprender a aplicarlas y desarrollarlas y utilizar la calculadora científica, me costó un esfuerzo pues en Derecho no hay Matemáticas, sólo una optativa de Contabilidad que también hice.
Gracias y saludos "profesor."

soy... dijo...

Me has motivado a hacer una serie sobre estadistica practica. No lo había pensado. Será la siguiente, la iniciaré a final de octrubre pues quiero, luego de finalizar esta de cálculo, que me ha resultado larguisima, ya llevo preparada VIII entradas más las que he subido, subir dos sobre un tema local, algo no usual en mi, pues trato de no tocar asuntos locales a menos que tengan una perspectiva general.

Gracias.

Elsa dijo...

Hola Soy...a mí sí me interesa la Matemática...me encanta!
Te cuento que enseño a alumnos universitarios Análisis Matemático,I y II, y estos temas me encanta enseñarlos.Sobre todo los problemas que debemos resolver...
Entiendo que a la mayoría de nuestros lectores no les cause placer leer estas demostraciones con letras...y nada de números!
Pero te felicito por la explicación que das.
Un abrazo, y gracias por seguirme.

soy... dijo...

Elsa

Ahora el compromiso es mayor, porque tengo a una profesora observándome...

Gracias por tu comentario, y por seguirme.

Saludos.

Jorge Ramiro dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Jorge Ramiro dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Jorge Ramiro dijo...

Matematica es una de mis materias favoritas y por eso me da mucho gusto poder conocer nuevas cosas y por eso a pesar de haber terminado el secundario me gustaría seguir ligado a esto. Recuerdo que uno de los temas que mas me ha gustado fue trigonometria