Hablando Sobre Cálculo Diferencial... (I)

Subiré algunas entradas sobre los principios básicos del cálculo diferencial. Puede parecer ilógico, pues no he completado la serie matemáticas cotidianas, ni he hablado sobre algebra lineal, geometría euclidea, trigonometría plana, ni sobre las bases de la geometría analítica. Pero sucede que algunos jóvenes estudiantes me han pedido que por favor le escriba sobre los cimientos del análisis matemático. 

Yo no he necesitado las matemáticas avanzadas para vivir; indica esto que no domino como cuando era estudiante esta laboriosa rama de las ciencias exactas; mis esfuerzos didácticos al escribirla deben ser ponderados tomando en cuenta este punto –que por cierto, felizmente me sirve de pretexto- y recuerden esto, que es lo más importante de esta introducción: ¿Qué se creen todos, que es un libro de cálculo, o un folleto para la universidad? No, es un esfuerzo tremendo, desde el punto de vista didáctico, de uno que no le agrada impartir docencia en un ambiente escolar.

Entremos sin rodeos al tema, que no es nada fácil.

Tenemos una función cualquiera

y = x 

Si aumentamos el valor de x en ∆x, entonces y aumentara en ∆y, la ecuación resultante es

Y+∆y = (x+∆x)                                                 (1)

Resolviendo el cuadrado de la suma de dos cantidades tenemos

Y+∆y = x+2x∆x+∆x                            (2)

Queremos saber cuál es el incremento ∆y en función de x, y de ∆x, procedemos a restar las funciones (1) y (2)

y       = x 

Y+∆y = x+2x∆x+∆x

∆y = 2x∆x + ∆x

Para saber cuándo varía ∆y con respecto a ∆x hallamos la razón siguiente

∆y  = 2x+∆x                                        (3)

∆x    

Esta ecuación nos dice que ∆y con respecto a ∆x varia en razón de 2x+∆x        

Si x = 3 observamos que

∆y = 2(3)+∆x      →  Lim ∆y = 6                      

∆x                                  ∆x→ 0 ∆x

Vemos que para dejar el límite de la función bien establecido, debemos aproximar el incremento de x, o sea ∆x lo más posible a cero.

Como no estamos obedeciendo un orden para enseñar esta base del cálculo diferencial, lógicamente damos por hecho que el lector interesado conoce lo que es el límite de una función.

Por definición

Derivada de un función de una variable es el límite del cociente del incremento de la variable dependiente (∆y) entre el incremento de la variable independiente (∆x), cuando este último tiende a cero.

y →  Variable dependiente                ∆y → Incremento variable dependiente
x →  Variable independiente             ∆x → Incremento variable independiente