Hablando Sobre Cálculo Diferencial...(III)

Como prometimos en la segunda entrada de esta serie, continuaremos derivando funciones utilizando la regla general de derivación o método de los incrementos. Estamos saltando algunos pasos algebraicos de reduccion de terminos semejantes, pues como dijimos al iniciar esta serie, suponemos que el lector tiene conocimientos suficientes de álgebra. Resolveré un caso de derivación más laborioso, y uno más en la próxima entrada. Espero que los estudiantes iniciales de todas las ingenierias, economía, administración de empresas, contabilidad, etc. lean esta serie y que les sea de utilidad.

Tenemos la función siguiente

y =       b    

         X³+x

Incrementando ambos miembros de la igualdad

Y+Δy  =              b               ;  luego:  Y+Δy  =                        b                              

                  (X+Δx)³+x+Δx                                   x³+3x²Δx+3xΔx²+Δx³+x+Δx

Restando función sin incrementar de la incrementada

Y+ Δy-y =                            b                          -         b      

                    x³+3x²Δx+3xΔx²+Δx³+x+Δx          X³+x

Δy =            -(3x²Δx+3xΔx²+Δx³+Δx)b         

           (x³+3x²Δx+3xΔx²+Δx³+x+Δx)(x³+x)   

 Dividiendo entre Δx 

Δy =             -(3x²+3xΔx+Δx²+1)b                    

Δx       x³+3x²Δx+3xΔx²+Δx³+x+Δx(x³+x) 

 Haciendo Δx → 0  y aplicando limite de una función 

      Lim     Δy  =   -(3x²+1)b              

 Δx → 0   Δx   (x³+x)(x³+x)

Por definición

      Lim      Δy =  dy 
  Δx → 0   Δx      dx      

Por tanto

dy  =    -(3x²+1)b    

dx          (x³+x)²

   

Observemos otro ejemplo

y  =  6x²+3x+2 

             x+6
Incrementemos la función y resolvamos el binomio de newton

y+Δy =  6(x+Δx)²+3(x+Δx)+2     →     y+Δy  =     6x²+12xΔx+6Δx²+3x+3Δx+2

                          x+Δx+6                                                       x+Δx+6  

Restamos función sin incrementar de la función incrementada

Δy =  (6x²+3x+2)+12xΔx+6Δx²+3Δx   -   6x²+3x+2

                          (x+6)+Δx                          x+6                 

 Encontramos denominador común y reducimos los términos semejantes

Δy =  (6x²+3x+2)(x+6)+(12xΔx+6Δx²+3Δx)(x+6)  -  (6x²+3x+2) (x+6)-(6x²+3x+2)Δx

                                                         (X+6)²+(x+6)Δx

Δy     =     12x²Δx+72xΔx+6xΔx²+36Δx²+3xΔx+18Δx-6x²Δx-3xΔx-2 Δx

Δx                                            (X+6)²  +(x+6)Δx      

Reduciendo términos semejantes y luego dividiendo entre Δx

Δy  =  6x²+72x+6xΔx+36Δx+16

                        (x+6)²

Haciendo Δx = 0  y aplicando el límite de la función

    Lim     Δy     =    6x²+72x+16

Δx→ 0    Δx                  (x+6)²   

 Por definición de derivada   

  dy  =     6x²+72x+16                                        

  dx               (x+6)²