Conceptos Básicos de Álgebra Lineal... (I)

No estaba en mis planes hacer algunas entradas sobre los principios básicos del algebra lineal, mi idea era reorganizar las entradas sobre números, retomar la serie matemáticas cotidianas, luego hablar un poco sobre el algebra lineal, y así obedecer la secuencia correcta de aprendizaje. Pero las clases de mi hijo no me dejan otra alternativa que subir algunas entradas sobre el tema. Él, como la mayoría de estudiantes que finalizan la primaria se sugestiona cuando tiene que sumar letras y números combinados. Y con esta serie quiero, no solo ayudar a resolver problemas sencillos de algebra sino, y es lo más importante, romper con dicho temor.

En el primer curso de primaria los niños suman letras

Los niños no pueden ver los números, entre otras cosas porque no pueden palparlos, ponerlos en su boca, etc., por eso, cuando se les quiere enseñar a conocer las primeras cantidades, se apela a dibujitos de manzanas, de peras, etc., pero también se utilizan notaciones propiamente algebraicas, como las letras, por ejemplo

P + P +  P + P + P    5P

Los niños aprenden a responder el resultado de estas sumas sin mucha dificultad. Pero sucede que cuando aprenden a trabajar con los símbolos numéricos, durante casi toda la primaria no vuelven a operar cantidades representadas con letras. Por eso, si a un estudiante que finaliza los estudios medios le dices que resuelva el siguiente ejemplo, no puede hacerlo

a+a+a+a+a = 5a

Inmediatamente dice que las letras no se pueden sumar. Pero si le das una pagina de un libro y le dices que cuente todas las letras m que encuentre en ella, sin dudar ni equivocarse, procede a darte el resultado.

Si le decimos al estudiante que estamos en la hora de algebra y que sume las letras a que le pongo en un ejercicio no puede hacerlo, pero si le digo, cinco segundos después que la hora de algebra acabó y que entramos a la de literatura, que el ejercicio es sumar las letras a que encuentre en la primera pagina del libro de texto, lo hace sin titubeos…

El problema está en que al iniciar los cursos de algebra debe decírseles a los estudiantes que no hay diferencia en la operación de sumar letras especificas de un libro y sumar las letras que se usan en álgebra. Pero también, se debe aclarar que el álgebra básica es parte del lenguaje cotidiano, que no podemos prescindir de el y si lo intentamos no podemos comunicarnos correctamente, incurriríamos en absurdos.

Veamos algunos ejemplos

En un curso de literatura el profesor pide contar las letras m que aparecen en la primera página del libro de texto, los estudiantes las cuentan y tienen como resultado cincuenta m o lo que es lo mismo 50m. Luego  el profesor sugiere que cuenten las letras m de las dos paginas siguientes y los estudiantes cuentan cuarenta m en la página dos y sesenta y cinco m en la página tres. El paso siguiente es preguntar al curso cuantas letras m tenemos en la pagina uno y dos y el curso de literatura, responde sin la mas minima dificultad que tienen noventa m.  Luego pregunta cuantas m hay en las dos ultimas páginas y responden de inmediato ciento cinco m. Bien, dice el profesor, cuantas letras tenemos en las tres paginas y el curso responde a coro, tenemos ciento cincuenta y cinco m.

Cómo calcularon todas las letras m de las tres primeras paginas los estudiantes del curso de literatura?

Lo primero que hicieron fue contar una a una las letras m, en cada página. Luego sumaron el total de cada página. O sea

  

Primera página   50m

Segunda página 40m

Tercera página   65m

Total               155m

Otra forma de escribir la operación es

50m + 40m + 65m = 155m

Como estamos sumando letras m lógicamente el resultado debe ser con letra m. 

El ejemplo viene al caso ya que si el curso es de álgebra los estudiantes usualmente no tienen idea de qué hacer. Si el profesor de álgebra le pide a sus alumnos, en el primer día de clases que realicen la operación siguiente

5a + 2a + 9a = ___

La mayoría de los estudiantes que inician el curso no tendrán idea del resultado, incluso uno que otro opinará que no sabían que se pueden sumar letras. Cómo explicar que los mismos estudiantes en la hora de literatura no tengan dificultad en sumar letras y cuando inicia la hora de álgebra se sienten incapacitados de realizar dicha operación?

En mi opinión, no es correcto que el sistema educativo excluya el abc del álgebra de los niveles primarios. Si ya los niños demuestran que pueden sumar y restar letras,  manzanas, peras, bananas, no es justificable que desaparezca por tantos años este ejercicio algébrico.

Resumiendo, si un conjunto de estudiantes están en capacidad de sumar letras en el curso de literatura y no pueden hacerlo cuando inicia el curso de álgebra, entonces hay una confusión que debe ser comprendida y superada por el profesor correspondiente, antes de entrar de lleno en materia. También debemos aclararles a los estudiantes iniciales de álgebra lo del lenguaje cotidiano y su relación con el lenguaje algébrico, de lo indisolubles que son. Cuando compramos en el supermercado usamos lenguaje algebraico,  pues decimos

Cuatro latas de frijoles

Veinte tomates

Diez sobres de café

Sin un lenguaje ligado al algebra no podríamos decir lo que queremos adquirir, ya que en lenguaje aritmético mencionaríamos únicamente las cantidades sin especificar de que estamos hablando

Cuatro

Veinte

Diez

El álgebra resume gran parte del lenguaje cotidiano a símbolos muy prácticos, de feliz manejo. Por ejemplo, si llamamos f a las latas de frijoles t al tomate, c al café, escribiríamos el anterior ejemplo de la siguiente forma

  4f

20t

10c

Para finalizar diríamos en lenguaje cotidiano que compramos en el supermercado: cuatro latas de frijoles más veinte tomates más diez sobre de café. En álgebra lo escribimos de la siguiente manera

4f + 20t + 10c

En la siguiente entrada continuaremos con estos comentarios.