sábado, 29 de octubre de 2011

Hablando Sobre Cálculo Diferencial... (VI)


En la entrada  anterior hablamos sobre la interpretación geométrica de la derivada. Concluimos demostrando que el valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la tangente de la curva en ese punto. Resolveremos algunos ejemplos sencillos, que nos ayudaran a comprender la aplicación de esta demostración.

Las gráficas utilizadas en la entrada no corresponden con los ejemplos.

Ejemplo 1:


Calcular la pendiente e inclinación de la tangente

y = x² - 2;               siendo     x = 1

Aplicando el método general de derivación o de los incrementos, encontramos que la derivada de la función es

dy  = 2x                sustituimos valor de   x;    dy  =  2(1) = 2 
dx                                                                   dx      

2 = pendiente de la tangente en el punto donde x = 1; con la calculadora encontramos el ángulo de inclinación  

Ѳ = 63° 26'


Ejemplo 2


Hallar el punto de la curva y= 5x - x² en el cual la inclinación de la tangente es de 45°

Derivando la función resulta

dy = 5 – 2x                         pendiente de la tangente
dx

Sabemos que la tangente de 45° = 1; por definición, la derivada de la función es igual a la unidad. Sustituyendo tenemos

1 = 5 – 2x;                             despejando x resulta

x = 2                                      sustituyendo valor de x en la función original, resulta

y = 5(2) - 2²;                                       y = 6

Un punto en el plano está determinado por dos valores P(x,y), por tanto el punto de la curva donde la inclinación de la tangente es de 45° es  P(2,6)

En la siguiente entrada resolveré un ejemplo más y haré una retroalimentación de las entradas anteriores, para luego iniciar con las demostraciones de algunas de las formulas de derivación. No podemos avanzar en las bases del cálculo diferencial sin un breve repaso de las entradas que hemos subido.

8 comentarios:

clariana dijo...

¡Hola Soy!
Otra vez por aquí...
Ya veo que lo de la pendiente y el acercamiento a 1 no guarda relación, he confundido algo que recordaba de las curvas en Estadística y que el máximo era 1, pero ya veo que era otra cosa.
Te he podido seguir bastante en este post, mi laguna ha sido ese cálculo que haces para derivar al principio, pues ya te dije que no sé calcular derivadas.
De todas formas dentro de mis limitaciones me gusta seguir lo que pones.
Creo que el tema de las Matemáticas es importante para muchas cosas y es una lástima que en carreras de letras se obvie totalmente. Incluso en Derecho creo que alguna asignatura debería de haber, se rigen mucho por la Lógica, pero creo que falta algo.
A mi me da cierta pena ver en un concurso muy interesante que hay en la tele a señoras que son de Letras y lo pésimo que hacen la prueba del cálculo que es sencilla pero no están habituadas y sin embargo son muy brillantes en otros temas del concurso. Es curioso pero ésto sucede mucho más en las mujeres que en los hombres.(Me refiero en el concurso claro.)
Un saludo afectuoso y gracias.

soy... dijo...

clariana

"Ya veo que lo de la pendiente y el acercamiento a 1 no guarda relación..."

Como te comenté antes, el desarrollo de la serie aclara dudas.

"...ya te dije que no sé calcular derivadas."

Aprenderás a derivar funciones tan fácilmente que no te lo creerás, sólo continua leyendo la serie.


"De todas formas dentro de mis limitaciones me gusta seguir lo que pones."

No expliqué las bases matemáticas previas a la serie, pero las subiré el año entrante.

"...el tema de las Matemáticas es importante para muchas cosas y es una lástima que en carreras de letras se obvie totalmente."

!Exacto clariana! pero no lo sabe ver todo el mundo, por el prejuicio en torno a ellas; claro que no estás que yo explico, con las básicas bien dominadas es suficiente.

"A mi me da cierta pena ver en un concurso muy interesante que hay en la tele a señoras que son de Letras y lo pésimo que hacen la prueba del cálculo que es sencilla"

Porque creen que las matemáticas no son útiles para todo el mundo. Error grave.

"Es curioso pero ésto sucede mucho más en las mujeres que en los hombres."

Recuerda que es lo esperado, que más hombres aprueben esas pruebas, porque la educación superior en esas áreas hasta hace poco más de un siglo, eran exclusivamente masculinas.


Gracias por comentar.

Saludos por igual

clariana dijo...

Hola Soy,
me podrías aclarar en tu entrada del 28 de agosto,
Incrementamos la función...
y luego,
Resolviendo paréntesis...
hay un 4 que me parece ha volado, pues luego en los cálculos ese factor multiplicador no se realiza en el paréntesis.
No sé si es un error o yo estoy equivocada por algún cálculo que no sepa.
Te agradecería que cuando puedas me lo aclarases.
Gracias.
Un saludo.

soy... dijo...

Clariana

Es un error de digitación; estás en lo correcto. he revisado el desarrollo de la derivada y todo esta bien.

al incrementar la función escribí

y+Δy=9(x+Δx)²+4(4x+4Δx)/2(x+Δx)+1

el 4 fuera del paréntesis está de más, como bien aprecias.

Para incrementar la función paso a paso, debemos hacer lo siguiente

y+Δy=9(x+Δx)²+4(x+Δx)/2(x+Δx)+1

Desarrollando

9(x²+2xΔx+Δx²)+4x+4Δx/2x+2Δx+1

No voy a desarrollarlo todo,pero el siguiente paso es multiplicar por 9 toda la expresión que está dentro del paréntesis

9x²+18xΔx+9Δx²+4x+4Δx/2x+2Δx+1

Luego procedemos a restar la función original, reducimos términos semejantes, continuamos haciendo Δx = 0 etc.

Pero me alegra que hayas visto el error, yo vi otro, me falto un signo +.

Cuando tenga tiempo, revisaré las otras entradas. Te comento que me da un trabajo enorme poner símbolos, porque cuando los escribo en word algunos no se pegan en el blog, aparecen, unos como rayas y otros como rectángulos y cuadrados. Y no he procurado ayuda.

Gracias por la atención.

Este método de derivación es laborioso, pero es la regla general y mal haría en no detallarla. Cuando aplique las formulas directas no tendrás gran complicación en derivar. Si reconozco que los pasos directos de suma y resta de expresiones algebraica pueden producir dolor de cabeza en el lector preocupad@ -como tu- en leer con detenimiento la entrada.

Saludos.

clariana dijo...

Gracias por las molestias que te has tomado en aclarármelo, no tiene más importancia un error digital, pero al costarme de entender la temática, me hacía perderme un poco.
Entiendo el problema de transcribir los signos en el blog, pues he intentado escribir esos cálculos en el comentario, para que estuviese más claro y me he vuelto lela, lo he tenido que abandonar. El signo de incremento ni estaba en el teclado; la potencia tampoco, tenía que poner un simple dos a la derecha de la x; el subrayado para indicar la división tampoco me salía y así...
Veo que la resolución de la derivada tiene que ver con los incrementos que explicabas en el esquema de la función, bueno poco a poco y con paciencia... cuando pongas más post en un futuro supongo que me aclararé más.
Un saludo afectuoso.

soy... dijo...

clariana

Gracias por seguir con tanta atención la entrada.

Un saludo.

Elsa dijo...

Me he tomado el atrevimiento de colaborar con tu entrada,trayendo una aplicación del cálculo diferencial:

Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica cuya función es y=x2+1 en el punto (2,5).
Usamos la fórmula para derivar= y'=2x
Reemplazamos la variable x por 2 y nos da y'=4.Esta es la pendiente de la recta tg.
Luego escribimos la ec.de la recta= y-yo=m.(x-xo) y reemplazamos yo=5;m=2;xo=2 y nos queda=
y=4x-8+5
y= 4x-3.(Ec.de la tecta tangente)
Para verificar la respuesta,esbozar la gráfica de la función y la de la recta tangente.

Gracias Soy por tu aporte en mis blogs. Estoy sumamente agradecida por ello.
Un abrazo

soy... dijo...

Elsa

El cálculo diferencial ayuda a desarrollar el pensamiento abstracto, cuando mantenemos actualizado nuestro conocimiento sobre el. Ese pensamiento abstracto te facilitó resolver la complejidad de colocar símbolos !de manera sencilla pero funcional!
la sustitucion del subindice 0 por la vocal o es una felicidad, pues si que da trabajo subirlo a un comentario.

El ejemplo que pensaba subir en la próxima entrada era del orden del que tu desarrollaste en tu comentario; tomaré el ejercicio que nos brindas y lo sustituiré por el mio. Daré algunas explicaciones detalladas, pues hiciste los pasos directos, y esa será la única modificación que le haré a tu colaboración.

Un saludo.