Luego de unos días, reinicio la
serie, espero que las anteriores hayan sido de provecho para los estudiantes. Hoy
deduciremos de un gráfico el significado geométrico de la derivada de una función.
Interpretación geométrica de la
derivada
Consideremos la gráfica de la
función f(x), o sea, la curva del gráfico; dada la ecuación y = f(x). Hallaremos la
derivada de la función e interpretaremos geométricamente cada uno de los cuatro puntos ; escogeremos un punto M(x,y) de la curva y otro P(x+Δx, y+Δy) de la curva también y cercano al
punto M.
y + Δy = f(x +
Δx)
Restamos la función
original de la incrementada
y = f(x)
y + Δy = f(x +
Δx)
Δ y = f((x +
Δx) – f(x)
Dividimos entre Δx
Δy = f(( x + Δx) – f(x) = NP = tangα
Δx = Δx
MN
dy = pendiente
de la secante MP
dx
El cociente de
los incrementos Δy y Δx es igual a la pendiente de la secante determinada por los
puntos M(x,y) y P(x+Δx , y+Δy) de la curva. Como consideramos el valor de x
fijo, entonces M es un punto fijo de la gráfica. Δx varia tendiendo a cero, el
punto P se mueve a lo largo de la curva, aproximándose a M como límite; pero la
secante MP girará alrededor de M y su límite será la tangente en M.
α= angulo de la secante
Ѳ= angulo de la tangente
Lim α = Ѳ; tangα = Δy dy = lim tang Ѳ → dy = tangα
Δx dx Δx→ 0 dx
Aquí una serie de gráficas que conseguí, con otra notación, pero se sigue bien la idea. Sugiero analizarlas, ya que no estoy en capacidad de hacer gráficas didácticas para mis seguidores, tendré que actualizarme. Y como imagino suponen, me da pereza... Favor hacer click en la imagen para estudiarla mejor.
Hasta aquí la
entrada. Quiero resolver dos ejercicios básicos relacionados con este post, luego pasar a las
fórmulas de derivación; demostraremos algunas ya que consideramos que sin el
conocimiento del origen de estas fórmulas queda incompleta la comprensión de la
parte básica del cálculo diferencial.
7 comentarios:
¡Hola Soy!
Me gusta intentar interpretar las fórmulas con los dibujos, en algunas lo consigo, aunque a veces me pierdo. Bueno lo hago como un juego, pues en mi caso no puede ser de otra manera.
Me alegro que hayas retomado lo del cálculo, pues beneficiará a los que lo precisen.
Saludos afectuosos.
clariana
Ah, eres la única seguidora de la serie de mates... pero eso no me desanima.
Seguiré sin parar hasta completar el cometido propuesto.
Un saludo.
Soy aclárame solo una cosa, que creo que sé pero no estoy segura.
La tangente de alfa es la recta que sólo pasa por el punto M (en el primer dibujo.)
Y la pendiente de la secante ¿la recta que pasa por MP?
Por tus dibujos posteriores y por las fórmulas deduzco que es así, pero no estoy segura.
Un saludo.
la tangente es definida como la recta que toca un punto y sólo uno de una curva dada. Y si, la recta que toca a M es tangente a la curva.
En cuanto a la secante, que es a lo que te refieres, y no a la pendiente de dicha secante, si, es como dices, pues la secante es aquella recta que toca dos puntos de una curva. Hay que diferenciar la recta de su pendiente. Debí tratar un poco de geometria analítica antes de hablar de las bases del calculo diferencial como dije en la primera entrada, pero complazco la solicitud de algunos jovencit@s que querían material rápido, cómodo, que no meta miedo al mirarlo, jaja, . Pero también, seamos honestos, por dos razones: no se construir una gráfica didactica, con los detalles que quiero, me lio bastante. Y segundo, luego de construida no se subirla al blog. Pero te prometo, y a todo el que me lee y me sigue, que me pondré al día con esos programas modernos.
La pendiente de la secante, volviendo al punto que comentas, debe ser calculada dividiendo EL INCREMENTO DE LA VARIABLE DEPENDIENTE (y) SOBRE EL INCREMENTO DE LA VARIABLE DEPENDIENTE (x). Todo incremento es definido como la resta de los valores final e inicial de una variable. Expresado en simbolos algerbraicos resulta:
∆y = y₁- y₀
∆x = x₁- x₀
siendo
y₁, x₁ valores finales.
y₀ , x₀ valores iniciales.
Si llamamos m a la pendiente de la secante, tendremos
m = y₁- y₀ / x₁- x₀
Pero como sabes, no voy a hacer de un comentario una entrada (aunque ganas no me faltan, pues me apasiona el tema) jajaja.
Gracias por seguir la serie.
Un placer.
Clariana
donde dice:...dividiendo EL INCREMENTO DE LA VARIABLE DEPENDIENTE (y) SOBRE EL INCREMENTO DE LA VARIABLE DEPENDIENTE (x).
Debe decir:...dividiendo EL INCREMENTO DE LA VARIABLE DEPENDIENTE (y) SOBRE EL INCREMENTO DE LA VARIABLE independiente (x).
Gracias de nuevo.
¡Hoa Soy!
Te agradezco mucho tus aclaraciones, tangente, secante, son conceptos básicos de geometría que conozco, pero intentar leer las gráficas de ese cálculo no es fácil si no tienes los conocimientos adecuados.
Siempre me han gustado las matemáticas, pero tienen un seguimiento constante, no permiten lagunas.
Lo de la pendiente ya es más difícil y creo recordar que el acercamiento es a 1 en esos cálculos, que es el tope. Bueno algo de ésto vi en Estadística, pero el cáculo de integrales y derivadas no.
No te preocupes, entiendo que te apasione el tema, pues tú lo conoces. Cuando pongas algo vendré a verlo pero sin más pretensiones.
Un saludo afectuoso.
"...Cuando pongas algo vendré a verlo pero sin más pretensiones."
No me expliqué bien. Sí puedes preguntar, pedir aclaración, etc., me referí a que no puedo hablar de geometría analítica en un comentario, aunque ganas no me falten.
Todo seguidor de esta serie -que son poquísimos- tiene la libertad absoluta de comentar, cuestionar, aclarar, e incluso corregir cada palabra que brindo a mis lectores y seguidores.
Ese hechizo, que se llama participación, es la razón de existir de este mi humilde rinconcito virtual, conocido como sortilegio. Continúa animada con tus comentarios, en esta modesta serie,
Un placer gratísimo es para mi.
Un saludo y gracias.
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