sábado, 5 de noviembre de 2011

Hablando Sobre Cálculo Diferencial... (VII)

En esta entrada tenía pensado resolver un ejercicio y luego hacer una retroalimentación de las anteriores. Cambié la entrada para subir un ejemplo dejado en un comentario en el numero (VI) de esta serie. Prometo un breve repaso en la siguiente entrada, para por fin entrar a demostrar algunas fórmulas de derivación,

Las imágenes mostradas no tiene relación con los ejemplos resueltos.

Ejemplo I


Tomado de un comentario hecho en la entrada anterior 

Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica cuya función es  y = x2+1 en el punto (2,5).

Con esta función podemos encontrar la pendiente de la tangente; luego, sustituyendo el valor de las variables (x,y) en la ecuación general de la recta, encontramos la ecuación de la recta tangente buscada.

Usamos la fórmula para derivar    y' = 2x

Reemplazamos la variable x por 2 y nos da

y' = 4                  pendiente de la recta tangente.

Luego escribimos la ecuación general de la recta  

y-yo = m.(x-xo)

Reemplazamos y = 5; m = 2;  xo = 2 nos queda

y=4x-8+5

y= 4x-3                Ecuación de la recta tangente

Para verificar la respuesta, esbozar la gráfica de la función y la de la recta tangente.


Ejemplo II


En la curva  y = x³ + x  hallar los puntos en los que la tangente es paralela (//) a la recta  y = 4x.

Derivando ambas ecuaciones usando regla general o métodos de los incrementos

dy  = 3x+1      
dx

y = 4

Cuando la tangente es paralela a la recta, las pendientes son iguales. Por interpretación geométrica, ambas derivadas son iguales.

3x+1 = 4;              despejando resulta          x = 1

Sustituyendo valor de  x en ecuación sin derivar

y = (1)³ + 1;     y = 2

Con los valores de las variables conocemos el punto en los ejes cartesianos Po(x,y)

Po (1,2);                  por simetría el otro punto es     Pı(-1,-2)

Sugiero que en ambos ejemplos sean hechas las gráficas correspondientes, estas servirán para comprobar las soluciones explicadas en ambos ejemplos. No es laborioso construirlas, y como la serie está desarrollada para aquellos que ya tienen cierta base en geometría analítica, el esfuerzo vale la pena.

2 comentarios:

clariana dijo...

Aquí ya me he perdido totalmente, se ve con claridad que no estoy al nivel.
Esperaré a cuando pongas más post en un futuro.
Gracias y me alegro de que otras personas colaboren en tu iniciativa, que podrá servir a los estudiantes.
Un saludo afectuoso.

soy... dijo...

clariana

Son problemas de aplicación, básicos, sí, pero tienden a confundir un poco; siempre es bueno resolver estos problemas, por sencillo que sean, luego de tener amplia práctica derivando.

No te detengas mucho en ellos, con que apliques en el método de incrementos para derivar es suficiente. En unos días mostraré el método directo o de las fórmulas. No tendrás confusión.

Un saludo.

PD. Que no vayas a creer que soy un experto. Estas entradas sencillas, me han dado lucha, porque ya no tengo la velocidad de mis años de estudiante.