Hablando Sobre Cálculo Diferencial... (VI)

En la entrada  anterior hablamos sobre la interpretación geométrica de la derivada. Concluimos demostrando que el valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la tangente de la curva en ese punto. Resolveremos algunos ejemplos sencillos, que nos ayudaran a comprender la aplicación de esta demostración.

Las gráficas utilizadas en la entrada no corresponden con los ejemplos.

Ejemplo 1:

Calcular la pendiente e inclinación de la tangente

y = x² - 2;               siendo     x = 1

Aplicando el método general de derivación o de los incrementos, encontramos que la derivada de la función es

dy  = 2x                sustituimos valor de   x;    dy  =  2(1) = 2 

dx                                                                   dx      

2 = pendiente de la tangente en el punto donde x = 1; con la calculadora encontramos el ángulo de inclinación  

Ѳ = 63° 26'

Ejemplo 2

Hallar el punto de la curva y= 5x - x² en el cual la inclinación de la tangente es de 45°

Derivando la función resulta

dy = 5 – 2x                         pendiente de la tangente

dx

Sabemos que la tangente de 45° = 1; por definición, la derivada de la función es igual a la unidad. Sustituyendo tenemos

1 = 5 – 2x;                             despejando x resulta

x = 2                                      sustituyendo valor de x en la función original, resulta

y = 5(2) - 2²;                                       y = 6

Un punto en el plano está determinado por dos valores P(x,y), por tanto el punto de la curva donde la inclinación de la tangente es de 45° es  P(2,6)

En la siguiente entrada resolveré un ejemplo más y haré una retroalimentación de las entradas anteriores, para luego iniciar con las demostraciones de algunas de las formulas de derivación. No podemos avanzar en las bases del cálculo diferencial sin un breve repaso de las entradas que hemos subido.

Maniqueo Ingenuo Y Ameno...

Que agradables y amenos son estos medios de comunicación…

Saddam Hussein, Hosni Mubarak, Osama Bin Laden, el coronel Gadafi, Ben Ali, todos tienen similitudes.  Si bien Mubarak no resulto muerto, porque su cobardía extrema le salvó la vida.  No, no es ese el parecido, ese que llega a sus pensamientos, amables lectores y seguidores de mi rinconcito virtual. Los iguala que todos son malos. Y nadie quiere ver una película donde al final el malo quede vivo. Nadie quiere ver una película donde el malo muera tranquilo en su cama, o que muera accidentado. Todos aplaudimos cuando los malos son destrozados como se merecen. Vayan mis aplausos a la acción heroica acometida contra este grupo de depredadores. El mundo será un mejor lugar con menos perversos.

Faltan algunos distinguidos miembros en ser tocados por la primavera árabe. Los gobernantes de Siria, Bashar al Asad; Yemen, Abdalá sale; y Barein, Hamad bin Isa al Jalifa, se aferran al poder. Y aunque no estoy empapado del todo, parece que le está llegando la hora a Teodoro Obian de guinea, único país africano que oficialmente habla español. Los buenos continúan triunfando; al parecer estamos en el momento de acción del protagonista…

Hay buenos y malos. Vivimos etapas en donde el malo es clasificado como aquel que reprime a su propio pueblo. Podemos destrozar poblaciones completas, sin piedad alguna matar niños, mujeres embarazadas, ancianos, etc., pero si los muertos no son de los nuestros no hacemos algo malo. Conviene que nos aclaren con cucharitas quiénes son los buenos, porque los malos ya nos los sabemos de memoria. Y para mi cortísimo entendimiento, pido que en camaralenta y con omnipaciencia, me expliquen que si existen buenos que proteger y prosperar, malos que desacreditar y eliminar, como en el cine “in” ¿Quién es el guionista?

Alguien tiene que clasificarnos, porque la historia no se detiene. 

Hablando Sobre Cálculo Diferencial... (V)

Luego de unos días, reinicio la serie, espero que las anteriores hayan sido de provecho para los estudiantes. Hoy deduciremos de un gráfico el significado geométrico de la derivada de una función.

Interpretación geométrica de la derivada

Consideremos la gráfica de la función f(x), o sea, la curva del gráfico; dada la ecuación y = f(x). Hallaremos la derivada de la función e interpretaremos geométricamente cada uno de los cuatro puntos ; escogeremos un punto M(x,y) de la curva y otro  P(x+Δx, y+Δy) de la curva también y cercano al punto M.

y + Δy  =  f(x + Δx)

Restamos la función original de la incrementada

         y  =  f(x)

y + Δy  =  f(x + Δx)             

     Δ y   =  f((x + Δx)  –  f(x)

Dividimos entre Δx

Δy  =   f(( x + Δx)  –  f(x)  =  NP  = tangα 

Δx  =              Δx                  MN     

dy = pendiente de la secante MP

dx

El cociente de los incrementos Δy y Δx es igual a la pendiente de la secante determinada por los puntos M(x,y) y P(x+Δx , y+Δy) de la curva. Como consideramos el valor de x fijo, entonces M es un punto fijo de la gráfica. Δx varia tendiendo a cero, el punto P se mueve a lo largo de la curva, aproximándose a M como límite; pero la secante MP girará alrededor de M y su límite será la tangente en M.

α= angulo de la secante

Ѳ= angulo de la tangente

Lim α  = Ѳ; tangα  = Δy                      dy  =  lim  tang Ѳ    →     dy = tangα

                                      Δx                      dx              Δx→ 0           dx     

Aquí una serie de gráficas que conseguí, con otra notación, pero se sigue bien la idea. Sugiero analizarlas, ya que no estoy en capacidad de hacer gráficas didácticas para mis seguidores, tendré que actualizarme. Y como imagino suponen, me da pereza... Favor hacer click en la imagen para estudiarla mejor.

Hasta aquí la entrada. Quiero resolver dos ejercicios básicos relacionados con este post, luego pasar a las fórmulas de derivación; demostraremos algunas ya que consideramos que sin el conocimiento del origen de estas fórmulas queda incompleta la comprensión de la parte básica del cálculo diferencial.  

Reposición...(III)

Tomado de La presencia de lo etereo...la necesidad de decir, de fecha 19 de julio de 2010

Yo, Evolución (III)

Los estados nacientes inician el proceso de afectar el existir presente. Un mundo agobiado de sensaciones palpables, de formas y sonidos complementados, representa el triunfo innegable de la autocapacidad de mutar. La tendencia autótrofa per se de su creación no satisface el valor de las eras de empeño de su admirable esfuerzo; el cosmos no se basta con ello: quiere saberse - no sentirse- útil...¿qué frenará al cosmos de su permanente anhelo? ¿cuáles energías amontonadas construirán el dique que impida que lo completo no fracture en beneficio de lo nimio? Lo que el universo mira, es acorde con lo que oye y con lo que palpa; sintonizan en un amasijo que desespera por expulsar lo informe que en algún instante recibe. Y en un continuo proceso de curiosa y voluntaria exclusión, digiere simultaneamente el fondo anhelado que lo conecta con la tremenda realidad existente: comienza a comprenderse... y regocijado de su conquista no pende más de las asociaciones fortuitas; y festeja de su herramienta completa; la creación de su naturaleza, de su propia conciencia:iel cosmos piensa!

Reposición...(II)

Tomado de La presencia de lo etereo...la necesidad de decir. de fecha 14 de Julio de 2010.

Yo, Evolución (II)

Lo completamente voluminoso no se concibe impalpable… no será más huella inerte merodeando infinitesimales brechas cósmicas donde cernirse para reconocerse presente. Y en su nuevo curso- que se resiste a ser efímero- se asocian los nuevos agentes portadores de lo naciente; roces imberbes caracterizan el trocito de realidad embutida en el ser espacial, y por el recto del nuevo trozo de cosmos, se desechan- por necesidad- innumerables briznas infecundas: Nada retarda lo entero de lo naciente… en el nuevo lapso el movimiento responde al estímulo; el arrítmico vaivén suscita de manera inevitable nuevas necesidades, y lo vasto responde a ello concibiendo en lo prolífico de lo heterogéneo, el artilugio acertado donde transformar parte de lo orgánico originado… traza rutas, corrige naturaleza, avanza glorioso apoyándose en sus bien firmes determinaciones; corta secciones y obtiene de toda esta sucesión, el triunfo merecido de la labor espacio-temporal realizada por su simiente: ¡el cosmos escucha, observa y siente!

Reposición...(I)

Tomado de La presencia de lo etereo...la necesidad de decir. de fecha 12 de Julio de 2010. Con esta entrada tomo la palabra de un seguidor de este blog que me pidió intercalar los post de matemáticas con post de "letras".  Gracias Fran.

Yo, Evolución (I)

En alguna partecita del cosmos, algún rastro de energía inicia su proceso de cristalizado; en algún momento de su impreciso tiempo, alguna transmutación genera un borrador de ente, manifestado informe, y en su movimiento-- que tenderá a ser perpetuo—produce lo que produce. Y su incógnita producción contínua arrastra consigo, por alguna especial afinidad estelar, a los entes de parecido inicio: surge la materia... y esta, minúscula, insignificante por su origen, transita arropada por mantos de luz, en una vastedad incipiente, que en marejadas de partecitas de energías cristalizándose, gesta un cosmos abrumador. Lo inmenso es ya realidad. Y al permanecer expandiendose, por alguna congregación especial de continuas realidades, los mismos rastros de energías, preñan alguna femenina realidad específica; y en mezclas complejas de moléculas y aminoácidos, los primigenios entes voluntarios dan al universo su verdadero inicio: comienza a sentir...

Hablando Sobre Cálculo Diferencial... (IV)

No es bueno abundar palabras cuando tratamos sobre cálculo avanzado, pero esto es un blog y debo desarrollar las entradas para todo público interesado y para estudiantes. Hemos hablado de incrementos, de límites, y también derivadas, estamos realmente hablando de cálculo diferencial pero ¿Qué es un diferencial? si queremos, transversalmente, cortar una hoja de papel rectangular haciendo la mayor cantidad de cortes posibles, iniciando el primer corte por el centro de nuestra hoja, y el segundo corte por el centro de la primera mitad, el tercero por el centro de la segunda mitad, el cuarto por el centro de la tercera mitad, y así sucesivamente, hasta tener trozos infinitésimamente pequeños, notaremos que cada mitad de hoja de papel, por pequeño que sea su tamaño, tiene su respectivo centro. Siguiendo este procedimiento llegaremos a tener un segmento ideal de papel, que cumple con la condición de ser el más pequeño posible, más diminuto que uno que podamos imaginar.

Si suponemos un pedazo del papel pequeñísimo, físicamente imposible de obtener, podemos idealizar uno mucho más pequeño. Se entiende que un diferencial de ese papel es aquel corte infinitesimal más pequeño que el que podemos imaginar. Podemos sustituir la hoja de papel por un segmento, por una medida de tiempo, por una medida de velocidad, de aceleración, etc.; en cada caso, el concepto de diferencial es el mismo: una porción infinitésima más pequeña que una imaginada.

Trabajar con semejantes dimensiones requirió el desarrollo de una rama de los números: el cálculo. Sin el cual, el estudio de las curvas, por poner un ejemplo, estaría incompleto. Pero no podemos detenernos, continuaremos derivando otras dos funciones para cerrar con el sistema de derivación utilizando la regla general o métodos de los incrementos.

y = 9x²+4x

       2x+1

Incrementamos la función

y +Δy = 9(x+Δx)²+(4x+4Δx)

                     2(x+Δx)+1                               

Resolviendo paréntesis y luego restando función sin incrementar

y+Δy – y = 9(x²+2xΔx+Δx²)+ 4x+ 4Δx  -  9x²+4x

                             (2x+2Δx+1)                 (2x+1)   

   

Resolviendo

Δy = 18x²+ 9x²+36x²Δx+18xΔx+18xΔx²+9Δx²+8Δx²+4x+8x-18x³-8x²-18x²Δx-8xΔx-9x²-4x/ (2x+2Δx+1)(2x+1)

Δy = 18x²Δx+18xΔx+18xΔx+9xΔx+4

              (2x+2Δx+1)(2x+1)                                                                        

  

dividiendo la funcion entre Δx

Δy = 18x²+18x+18xΔx+9Δx+4

Δx        (2x+2Δx+1)(2x+1)

Aplicando límite de la función cuando Δx→ 0  

 

Lim    Δy = 18x²+18x+4

Δx→ 0  Δx    (2x+1)(2x+1)

Por definición de derivada

dy = 18x²+18x+4

dx        (2x+1)²

Hablando Sobre Cálculo Diferencial...(III)

Como prometimos en la segunda entrada de esta serie, continuaremos derivando funciones utilizando la regla general de derivación o método de los incrementos. Estamos saltando algunos pasos algebraicos de reduccion de terminos semejantes, pues como dijimos al iniciar esta serie, suponemos que el lector tiene conocimientos suficientes de álgebra. Resolveré un caso de derivación más laborioso, y uno más en la próxima entrada. Espero que los estudiantes iniciales de todas las ingenierias, economía, administración de empresas, contabilidad, etc. lean esta serie y que les sea de utilidad.

Tenemos la función siguiente

y =       b    

         X³+x

Incrementando ambos miembros de la igualdad

Y+Δy  =              b               ;  luego:  Y+Δy  =                        b                              

                  (X+Δx)³+x+Δx                                   x³+3x²Δx+3xΔx²+Δx³+x+Δx

Restando función sin incrementar de la incrementada

Y+ Δy-y =                            b                          -         b      

                    x³+3x²Δx+3xΔx²+Δx³+x+Δx          X³+x

Δy =            -(3x²Δx+3xΔx²+Δx³+Δx)b         

           (x³+3x²Δx+3xΔx²+Δx³+x+Δx)(x³+x)   

 Dividiendo entre Δx 

Δy =             -(3x²+3xΔx+Δx²+1)b                    

Δx       x³+3x²Δx+3xΔx²+Δx³+x+Δx(x³+x) 

 Haciendo Δx → 0  y aplicando limite de una función 

      Lim     Δy  =   -(3x²+1)b              

 Δx → 0   Δx   (x³+x)(x³+x)

Por definición

      Lim      Δy =  dy 
  Δx → 0   Δx      dx      

Por tanto

dy  =    -(3x²+1)b    

dx          (x³+x)²

   

Observemos otro ejemplo

y  =  6x²+3x+2 

             x+6
Incrementemos la función y resolvamos el binomio de newton

y+Δy =  6(x+Δx)²+3(x+Δx)+2     →     y+Δy  =     6x²+12xΔx+6Δx²+3x+3Δx+2

                          x+Δx+6                                                       x+Δx+6  

Restamos función sin incrementar de la función incrementada

Δy =  (6x²+3x+2)+12xΔx+6Δx²+3Δx   -   6x²+3x+2

                          (x+6)+Δx                          x+6                 

 Encontramos denominador común y reducimos los términos semejantes

Δy =  (6x²+3x+2)(x+6)+(12xΔx+6Δx²+3Δx)(x+6)  -  (6x²+3x+2) (x+6)-(6x²+3x+2)Δx

                                                         (X+6)²+(x+6)Δx

Δy     =     12x²Δx+72xΔx+6xΔx²+36Δx²+3xΔx+18Δx-6x²Δx-3xΔx-2 Δx

Δx                                            (X+6)²  +(x+6)Δx      

Reduciendo términos semejantes y luego dividiendo entre Δx

Δy  =  6x²+72x+6xΔx+36Δx+16

                        (x+6)²

Haciendo Δx = 0  y aplicando el límite de la función

    Lim     Δy     =    6x²+72x+16

Δx→ 0    Δx                  (x+6)²   

 Por definición de derivada   

  dy  =     6x²+72x+16                                        

  dx               (x+6)²                                                                    

Hablando Sobre Cálculo Diferencial... (II)

En esta entrada derivaremos una función, para que nuestros lectores aprecien claramente el proceso. Iniciamos con la regla general de los incrementos, pues a partir de esta obtendremos los métodos directos de derivación. He pensado resolver dos ejemplos pero la entrada resultaría muy larga y me ha dado mucho trabajo colocar símbolos, exponentes, etc.   

Procedamos.

Simbología de la derivada de una función

dy; y´; f´(x)

dx

Método de los incrementos o regla general de derivación

1. Sustituir en la función a x por (x+∆x), y procedemos a calcular el nuevo valor de la función y+∆y.
2. Restar la función no incrementada a la función incrementada para obtener ∆y.
3. Dividir ∆y sobre ∆x obteniendo de esta forma, la razón entre el incremento de la función con respecto al incremento de la variable independiente.
4. Hallar el límite de este cociente cuando ∆x tienen, o se aproxima a cero. Este límite es la derivada buscada de la función. 

Veamos estos pasos en un ejemplo

y = x+2x-3

Incrementamos ambos lados de la función

y+∆y = (x+∆x) + 2(x+∆x) – 3

Resolvemos binomio de newton y reducimos términos semejantes, si los hay

y+∆y = x+2x∆x+∆x + 2x+2∆x – 3

A este resultado restamos la función original

y+∆y = x+2x∆x+∆x + 2x+2∆x – 3

y        = x+2x-3                                

 ∆y    = 2x∆x+∆x + 2∆x

Dividimos este resultado por ∆x y simplificamos

∆y   =   2x∆x+∆x + 2∆x

∆x          ∆x     ∆x       ∆x

∆y = 2x +∆x + 2                                                           razón buscada

∆x

Aplicamos limite a este resultado, haciendo que ∆x tienda a cero

  Lim   ∆y  = 2x+0+2

∆x→0 ∆x

Tenemos

 Lim     ∆y = 2x+2;    por definición           Lim    ∆y =  dy

∆x→0  ∆x                                               ∆x→0  ∆x     dx

                                                               

dy  = 2x+2                                            derivada de la función

dx

El cálculo diferencial es laborioso, pero importantísimo; debemos aprenderlo con sentido de disfrute, no importa que nos de una lucha grandísima asimilarlo del todo. En la próxima entrada resolveré dos ejemplos, y si no se extiende mucho, explicaré un ejercicio de aplicación. Hasta la próxima.

Hablando Sobre Cálculo Diferencial... (I)

Subiré algunas entradas sobre los principios básicos del cálculo diferencial. Puede parecer ilógico, pues no he completado la serie matemáticas cotidianas, ni he hablado sobre algebra lineal, geometría euclidea, trigonometría plana, ni sobre las bases de la geometría analítica. Pero sucede que algunos jóvenes estudiantes me han pedido que por favor le escriba sobre los cimientos del análisis matemático. 

Yo no he necesitado las matemáticas avanzadas para vivir; indica esto que no domino como cuando era estudiante esta laboriosa rama de las ciencias exactas; mis esfuerzos didácticos al escribirla deben ser ponderados tomando en cuenta este punto –que por cierto, felizmente me sirve de pretexto- y recuerden esto, que es lo más importante de esta introducción: ¿Qué se creen todos, que es un libro de cálculo, o un folleto para la universidad? No, es un esfuerzo tremendo, desde el punto de vista didáctico, de uno que no le agrada impartir docencia en un ambiente escolar.

Entremos sin rodeos al tema, que no es nada fácil.

Tenemos una función cualquiera

y = x 

Si aumentamos el valor de x en ∆x, entonces y aumentara en ∆y, la ecuación resultante es

Y+∆y = (x+∆x)                                                 (1)

Resolviendo el cuadrado de la suma de dos cantidades tenemos

Y+∆y = x+2x∆x+∆x                            (2)

Queremos saber cuál es el incremento ∆y en función de x, y de ∆x, procedemos a restar las funciones (1) y (2)

y       = x 

Y+∆y = x+2x∆x+∆x

∆y = 2x∆x + ∆x

Para saber cuándo varía ∆y con respecto a ∆x hallamos la razón siguiente

∆y  = 2x+∆x                                        (3)

∆x    

Esta ecuación nos dice que ∆y con respecto a ∆x varia en razón de 2x+∆x        

Si x = 3 observamos que

∆y = 2(3)+∆x      →  Lim ∆y = 6                      

∆x                                  ∆x→ 0 ∆x

Vemos que para dejar el límite de la función bien establecido, debemos aproximar el incremento de x, o sea ∆x lo más posible a cero.

Como no estamos obedeciendo un orden para enseñar esta base del cálculo diferencial, lógicamente damos por hecho que el lector interesado conoce lo que es el límite de una función.

Por definición

Derivada de un función de una variable es el límite del cociente del incremento de la variable dependiente (∆y) entre el incremento de la variable independiente (∆x), cuando este último tiende a cero.

y →  Variable dependiente                ∆y → Incremento variable dependiente
x →  Variable independiente             ∆x → Incremento variable independiente